Forma logaritmica
I logaritmi sono inversi delle funzioni esponenziali. Ci dice quante volte dovremo moltiplicare un numero per ottenere un altro numero. Per esempio, se moltiplichiamo 2 quattro volte, faremo 2 x 2 x 2 x 2, che ci dà 16. Quando ci viene chiesto quante volte dovremo moltiplicare 2 per ottenere 16, la risposta è il logaritmo 4.
Forma esponenziale
Anche se questa lezione è sulla forma logaritmica, poiché i logaritmi sono gli inversi delle funzioni esponenziali, dovremo anche ripassare velocemente la forma esponenziale. Gli esponenti sono quando un numero viene elevato ad una certa potenza che ti dice quante volte ripetere la moltiplicazione di un numero per se stesso. Per esempio, quando vedi 242^424, dovrai prendere 2 e moltiplicarlo per se stesso 4 volte. Questo significa che otterrai una risposta finale di 16.
Dalla forma esponenziale alla forma logaritmica
Come facciamo a passare dalla forma esponenziale, che ci è più familiare, alla forma logaritmica? La conversione è in realtà piuttosto semplice ed è riassunta in questa definizione qui sotto:
Quando avete un’equazione nella forma esponenziale di bE=Nb^E=NbE=N, come facciamo a scrivere l’equazione in forma logaritmica? Per convertirla in forma logaritmica, dovrai prima prestare attenzione alla base. La b è la base in bE=Nb^E=NbE=N. Questa base sarà la stessa della base nella forma logaritmica dell’equazione, e sarà indicata dalla piccola bbb accanto a log come mostrato nella definizione sopra. Poi, la EEE e la NNN cambiano lato in modo che la EEE ora va sul lato destro dell’equazione in un logaritmo, e la NNN va sul lato sinistro. Ed ecco fatto! Riordinando i componenti di un’equazione in forma esponenziale, sarete in grado di ottenere la conversione in forma logaritmica.
Problemi pratici
Questione 1:
Convertire dalla forma esponenziale a quella logaritmica:
23=82^3=823=8
Soluzione:
Al momento abbiamo un’equazione nella forma: bE=Nb^E=NbE=N
Per convertirla nella forma logbN=E\log_b N =ElogbN=E, useremo la definizione sopra. La base di questa domanda è 2, quindi lo metteremo accanto a log come un piccolo 2 sul lato sinistro del nuovo logaritmo. Poi, scambieremo il 3 e l’8 con il lato opposto a quello in cui erano originariamente. Questo significa che otterremo la risposta finale di:
log28=3\log_2 8=3log28=3
Questione 2:
Convertire l’esponenziale in forma log:
10-2=110010^{-2}=\frac{1}{100}10-2=1001
Soluzione:
Ancora una volta, abbiamo un’equazione nella forma: bE=Nb^E=NbE=N
Convertiamola in questa forma: logbN=E\log_b N =ElogbN=E. Otterremo:
log101100=-2\log_{10}{frac{1}{100}=-2log101001=-2
Questione 3:
Convertire dalla forma esponenziale alla forma logaritmica:
a74=4a7a^{\frac{7}{4}}={^4}\sqrt{a^7}a47=4a7
Soluzione:
Convertire l’equazione che abbiamo nella sua forma attuale bE=Nb^E=NbE=N in logbN=E\log_b N =ElogbN=E riorganizzando le componenti intorno. Otterrete:
loga4a7=74\log_a {^4}sqrt{a^7}=frac{7}{4}loga4a7=47
In seguito, imparerete ad usare la scala richter, la scala ph, e la scala db. Queste sono tutte scale logaritmiche e dopo aver imparato questa lezione, capirai cosa sono i logaritmi e la grandezza dei numeri che rappresentano.
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