La proporción áurea, también conocida como sección áurea, media áurea o proporción divina, en matemáticas, el número irracional (1 + raíz cuadrada de√5)/2, a menudo denotado por la letra griega ϕ o τ, que es aproximadamente igual a 1,618. Es el cociente de un segmento de línea cortado en dos trozos de longitudes diferentes, tal que la relación entre el segmento entero y el segmento más largo es igual a la relación entre el segmento más largo y el segmento más corto. El origen de este número se remonta a Euclides, que lo menciona como «razón extrema y media» en los Elementos. En términos del álgebra actual, dejando que la longitud del segmento más corto sea una unidad y la longitud del segmento más largo sea de x unidades da lugar a la ecuación (x + 1)/x = x/1; esto puede reordenarse para formar la ecuación cuadrática x2 – x – 1 = 0, para la que la solución positiva es x = (1 + raíz cuadrada de√5)/2, la proporción áurea.
Los antiguos griegos reconocieron esta propiedad de «dividir» o «seccionar», frase que finalmente se acortó a simplemente «la sección». Fue más de 2.000 años después cuando tanto la «proporción» como la «sección» fueron designadas como «áureas» por el matemático alemán Martin Ohm en 1835. Los griegos también habían observado que la proporción áurea proporcionaba la proporción más agradable estéticamente de los lados de un rectángulo, una noción que se vio reforzada durante el Renacimiento por, por ejemplo, el trabajo del polímata italiano Leonardo da Vinci y la publicación de De divina proportione (1509; Divina proporción), escrito por el matemático italiano Luca Pacioli e ilustrado por Leonardo.
La proporción áurea aparece en muchos contextos matemáticos. Se puede construir geométricamente con regla y compás, y aparece en la investigación de los sólidos arquimedianos y platónicos. Es el límite de los cocientes de términos consecutivos de la secuencia numérica de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, en la que cada término más allá del segundo es la suma de los dos anteriores, y es también el valor de la más básica de las fracciones continuas, a saber, 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 +⋯.
En las matemáticas modernas, la proporción áurea aparece en la descripción de los fractales, figuras que exhiben autosimilitud y juegan un papel importante en el estudio del caos y los sistemas dinámicos.
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