A y B están casados. Tienen dos hijos. Uno de ellos es una niña. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro hijo sea también una niña?
Este es un problema clásico de probabilidad. Lo que hace que esta pregunta sea confusa es el hecho de que la pregunta es ambigua ya que puede no existir «el otro niño».
Supongamos que una pareja tiene dos hijos, llamados entonces $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Y}$. Cuando se dice «uno de ellos es una niña» dos posibles interpretaciones son:
#1 Alguien me ha dicho que la pareja tiene al menos una niña pero no sé si los dos hijos son niñas, si $\mathcal{X}$ es una niña, o si $\mathcal{Y}$ es una niña; los casos posibles son GG, GB, BG. Quiero calcular la probabilidad de que ambos hijos de la pareja sean niñas (GG).
o
#2 Alguien me ha dicho que $\mathcal{X}$ es una niña pero no sé si $\mathcal{Y}$ es un niño o una niña; los casos posibles son GG, GB. Quiero calcular la probabilidad de que $\mathcal{Y}$ sea también una chica (GG).
Ahora se puede responder a cada una de estas preguntas utilizando, por ejemplo, expresiones de probabilidades condicionales (las respuestas a las interpretaciones #1 y #2 son 1/3 y 1/2, respectivamente). Sin embargo, si te quedas con la sensación de «claro, ya veo cómo se puede obtener ese resultado pero, ¿por qué no es correcta mi respuesta?» sigue leyendo.
Interpretación #1:
(Esta es la que me parece interesantemente confusa.)
Cuando piensas por primera vez en el problema podrías utilizar el siguiente razonamiento (incorrecto):
Sé que al menos uno de los niños es una niña, ¿cuál es la probabilidad de que el otro niño (el de sexo desconocido) sea también una niña? bueno, ¿no debería ser 1/2? Es decir, el otro niño puede ser niño o niña a pesar de todo… ¿no?
Uno de los problemas de este razonamiento es que no existe «el niño de género desconocido» (por tanto, no existe «el otro niño»). De hecho, no se conoce el género de ninguno de los niños (¡en esta interpretación ambos niños tienen género desconocido!). Lo único que sabe es que hay una niña en alguna parte, pero no sabe cuál de los dos niños es la niña. ¿Cómo puede calcular la probabilidad de que el otro niño (el de sexo desconocido) sea una niña si no existe «el niño de sexo desconocido»? De hecho, si resulta que sabes que $\mathcal{X}$ (o $\mathcal{Y}$) es una niña, entonces estás utilizando una interpretación diferente de la pregunta (interpretación #2).
El otro problema de este razonamiento está relacionado con la independencia. Como la gente ha señalado, dado el supuesto general añadido de que hay al menos una chica, «el sexo de $\mathcal{X}$» y «el sexo de $\mathcal{Y}$» no son variables aleatorias independientes. Esto es fácil de ver ya que, por ejemplo, si $\mathcal{X}$ es un chico entonces $\mathcal{Y}$ está obligado a ser una chica con probabilidad 1 (no 1/2). Esta falta de independencia es la razón por la que no se puede decir que uno de los dos hijos es niño o niña de forma independiente/independiente del otro.
Derivación formal de la respuesta a la interpretación nº 1:
Utilizando la fórmula de las probabilidades condicionales tenemos que egin{align*}P\big(\text{Ambos son niñas}\big| \text{Al menos una niña}\big)&=\frac{P\big(\text{Ambos son niñas}\big)\cap\big(\text{Al menos una niña}\big). Por lo menos una chica))}{P\Ngrande(\Ntexto{Al menos una chica))}{&={frac{P\Ngrande(\Ntexto{Ambos son chicas}}{P\big(\text{Al menos una chica}}{big)}{&={frac{1/4}{3/4}={frac{1}{3}}.\end{align*}
Interpretación #2:
No creo que haya nada confuso en esta interpretación. Se sabe que el $\mathcal{X}$ es una niña y $\mathcal{Y}$ puede ser una niña o un niño independientemente de $\mathcal{X}$. En este caso, las variables aleatorias «género de $\mathcal{X}$» y «género de $\mathcal{Y}$» no están vinculadas por ningún supuesto global añadido y son independientes.
Derivación formal de la respuesta a la interpretación #2:
Utilizando la independencia del género del segundo hijo respecto al género del primero:
Por ejemplo, si el segundo hijo es una niña, el segundo hijo es una niña.\end{align*}
Respecto a la segunda pregunta:
Ahora A y B tienen 4 hijos y todos son varones. B está embarazada. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que A y B estén dotados de una niña? ¿Es 1/2 o habrá alguna probabilidad condicional?
La respuesta es que el género del siguiente hijo es independiente de los géneros de los cuatro primeros hijos (por suposición), esto es porque no hay ninguna suposición general añadida que implique al siguiente hijo. La respuesta es entonces simplemente $1/2$. (Esto es igual que en la Interpretación #2.)
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