Al igual que en el caso real, la función exponencial puede definirse en el plano complejo de varias formas equivalentes. ¡La definición más común de la función exponencial compleja es paralela a la definición de serie de potencias para argumentos reales, donde la variable real se sustituye por una compleja:
exp z := ∑ k = 0 ∞ z k k ! {\displaystyle \exp z:=\suma _{k=0}^{\infty }{frac {z^{k}}{k!}} ¡
Alternativamente, la función exponencial compleja puede definirse modelando la definición de límite para argumentos reales, pero sustituyendo la variable real por una compleja:
exp z := lim n → ∞ ( 1 + z n ) n {{displaystyle \exp z:=lim _{n}{infty }}left(1+{frac {z}{n}}right)^{n}}
Para la definición de la serie de potencias, la multiplicación por términos de dos copias de esta serie de potencias en el sentido de Cauchy, permitida por el teorema de Mertens, muestra que la propiedad multiplicativa definitoria de las funciones exponenciales se sigue manteniendo para todos los argumentos complejos:
exp ( w + z ) = exp w exp z para todo w , z ∈ C {\displaystyle \exp(w+z)=\exp w\exp z{{text{ para todo }}w,z\en \mathbb {C}} }
La definición de la función exponencial compleja conduce a su vez a las definiciones apropiadas que extienden las funciones trigonométricas a argumentos complejos.
En particular, cuando z = it (t real), la definición de la serie arroja la expansión
exp i t = ( 1 – t 2 2 ! + t 4 4 ! – t 6 6 ! + ⋯ ) + i ( t – t 3 3 ! + t 5 5 ! – t 7 7 ! + ⋯ ) . {\displaystyle \exp it=left(1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(t-{{\frac {t^{3}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{{\frac {t^{7}{7!}}+\cdots \right).}
En esta expansión, el reordenamiento de los términos en partes reales e imaginarias se justifica por la convergencia absoluta de la serie. Las partes real e imaginaria de la expresión anterior corresponden, de hecho, a las expansiones en serie de cos t y sin t, respectivamente.
Esta correspondencia proporciona la motivación para definir el coseno y el seno para todos los argumentos complejos en términos de exp ( ± i z ) {\displaystyle \exp(\pm iz)} ¡
y la serie de potencias equivalente: cos z := exp i z + exp ( – i z ) 2 = ∑ k = 0 ∞ ( – 1 ) k z 2 k ( 2 k ) ! , y sin z := exp i z – exp ( – i z ) 2 i = ∑ k = 0 ∞ ( – 1 ) k z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! para todo z ∈ C . ¡{\displaystyle {\begin{aligned}\cos z&:={frac {\exp iz+\exp(-iz)}{2}=suma _{k=0}^{infty }(-1)^{k}{frac {z^{2k}}(2k)!{{cuadro}} {{texto}} {{sin z}}&:={frac {{exp iz-{exp(-iz)}{2i}}=suma _{k=0}^{infty }(-1)^{k}{{frac {z^{2k+1}{(2k+1)!}{final{alineado}} {{texto}{para todos}{z}{mathbb {C}} .} ¡
C ). El rango de la función exponencial es C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \N -setminus \N – 0
C en su totalidad, de acuerdo con el teorema de Picard, que afirma que el rango de una función entera no constante es todo C }
C , o C {\displaystyle \mathbb {C} } }
excluyendo un valor lacunar.
Estas definiciones para las funciones exponencial y trigonométrica conducen trivialmente a la fórmula de Euler:
exp i z = cos z + i sin z para todo z ∈ C {\displaystyle \exp iz=cos z+i\sin z{\text{ para todo}}z en \mathbb {C} }
Alternativamente podríamos definir la función exponencial compleja basándonos en esta relación. Si z = x + iy, donde x e y son reales, entonces podríamos definir su exponencial como
exp z = exp ( x + i y ) := ( exp x ) ( cos y + i sin y ) {\displaystyle \exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\sin y)}
Donde exp, cos y sin en el lado derecho del signo de definición deben interpretarse como funciones de una variable real, previamente definidas por otros medios.
Para t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} }
se mantiene, por lo que | exp i t | = 1 {{desde el estilo |exp it|=1}
para t real {{desde el estilo t}}
y t ↦ exp i t {\displaystyle t\mapsto \exp it}
mapea la recta real (mod 2π) al círculo unitario en el plano complejo. Además, pasando de t = 0 {\displaystyle t=0}
a t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}}
, la curva definida por γ ( t ) = exp i t {\displaystyle \gamma (t)=\exp it}
traza un segmento del círculo unitario de longitud ∫ 0 t 0 | γ ′ ( t ) | d t = ∫ 0 t 0 | i exp i t | d t = t 0 {\displaystyle \int _{0}^{t_{0}}|\gamma ‘(t)|dt=int _{0}^{t_{0}}|i\exp it|dt=t_{0}
,
partiendo de z = 1 en el plano complejo y yendo en sentido antihorario. A partir de estas observaciones y del hecho de que la medida de un ángulo en radianes es la longitud de arco en la circunferencia unitaria subtendida por el ángulo, es fácil ver que, restringidas a argumentos reales, las funciones seno y coseno tal y como se han definido anteriormente coinciden con las funciones seno y coseno tal y como se introducen en las matemáticas elementales a través de nociones geométricas.
La función exponencial compleja es periódica con periodo 2πi y exp ( z + 2 π i k ) = exp z {\displaystyle \exp(z+2\pi ik)=\exp z}.
se cumple para todo z ∈ C , k ∈ Z {\displaystyle z\en \mathbb {C} k en el matiz de Z. }
.
Cuando su dominio se extiende de la recta real al plano complejo, la función exponencial conserva las siguientes propiedades:
e z + w = e z e w e 0 = 1 e z ≠ 0 d d z e z = e z ( e z ) n = e n z , n ∈ Z para todo w , z ∈ C {\displaystyle {begin{aligned}e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,\\^^0}=1,\Ne^{z}neq 0\\Ntfrac {d}{dz}}e^{z}=e^{z}\\Nizquierda(e^{z}\Nderecha)^{n}=e^{z},n\Nen \Nmathbb {Z} \para todo w,z en \Nmathbb {C} }
.
Al extender el logaritmo natural a argumentos complejos se obtiene el logaritmo complejo log z, que es una función multivaluada.
Podemos entonces definir una exponenciación más general:
z w = e w log z {\displaystyle z^{w}=e^{w\log z}
para todos los números complejos z y w. Esta es también una función multivaluada, incluso cuando z es real. Esta distinción es problemática, ya que las funciones multivaluadas log z y zw se confunden fácilmente con sus equivalentes monovaluados cuando se sustituye z por un número real. La regla sobre la multiplicación de exponentes para el caso de números reales positivos debe modificarse en un contexto multivaluado:
(ez)w ≠ ezw, sino que (ez)w = e(z + 2niπ)w multivaluado sobre números enteros n
Véase el fallo de las identidades de potencias y logaritmos para saber más sobre los problemas de combinación de potencias.
La función exponencial mapea cualquier recta del plano complejo a una espiral logarítmica en el plano complejo con centro en el origen. Existen dos casos especiales: cuando la recta original es paralela al eje real, la espiral resultante nunca se cierra sobre sí misma; cuando la recta original es paralela al eje imaginario, la espiral resultante es un círculo de algún radio.
- Participaciones 3D de la Parte Real, Parte Imaginaria, y Módulo de la función exponencial
-
z = Re(ex + iy)
z = Im(ex + iy)
z = |ex + iy|
Considerando la función exponencial compleja como una función que involucra cuatro variables reales:
v + i w = exp ( x + i y ) {\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}
La gráfica de la función exponencial es una superficie bidimensional que se curva a través de cuatro dimensiones.
Comenzando con una porción codificada por colores del dominio xy, las siguientes son representaciones de la gráfica proyectada de varias maneras en dos o tres dimensiones.
- Gráfica de la función exponencial compleja
-
Tecla del tablero:
x > 0 : verde {\displaystyle x>0:\;{\text{green}}x < 0 : rojo<0:\a;{texto{rojo}}
y > 0 : amarillo {\displaystyle y>0:\;{\text{amarillo}}y < 0 : azul {\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}Proyección sobre el plano complejo de rango (V/W). Compara con la siguiente, imagen en perspectiva.
Proyección en la x {\displaystyle x}, v {\displaystyle v}
, y w {\displaystyle w}
dimensiones, produciendo un cuerno acampanado o una forma de embudo (visualizado como imagen en perspectiva 2-D).
Proyección en las dimensiones y , v, y w, produciendo una forma de espiral. (Rango de y ampliado a ±2π, de nuevo como imagen en perspectiva 2D).
La segunda imagen muestra cómo se mapea el plano complejo de dominio en el plano complejo de rango:
- Cero se mapea a 1
- El eje real x se mapea al eje real positivo v
- El eje imaginario y se envuelve alrededor del círculo unitario a una tasa angular constante
- Los valores con partes reales negativas se mapean dentro del círculo unitario
- Los valores con partes reales positivas se mapean fuera del círculo unitario
- Los valores con parte real constante se mapean en círculos centrados en el cero
- Los valores con parte imaginaria constante se mapean en rayos que se extienden desde el cero
Las imágenes tercera y cuarta muestran cómo la gráfica de la segunda imagen se extiende a una de las otras dos dimensiones no mostradas en la segunda imagen.
La tercera imagen muestra la gráfica extendida a lo largo del eje real x. Muestra que la gráfica es una superficie de revolución alrededor del eje x de la gráfica de la función exponencial real, produciendo una forma de cuerno o embudo.
La cuarta imagen muestra la gráfica extendida a lo largo del eje y imaginario. Muestra que la superficie de la gráfica para los valores positivos y negativos de y no se encuentra realmente a lo largo del eje v real negativo, sino que forma una superficie en espiral alrededor del eje y. Debido a que sus valores de y se han extendido a ±2π, esta imagen también representa mejor la periodicidad de 2π en el valor imaginario de y.
Cálculo de ab donde tanto a como b son complejosEditar
Artículo principal: ExponenciaciónLa exponenciación compleja ab se puede definir convirtiendo a en coordenadas polares y utilizando la identidad (eln a)b = ab:
a b = ( r e θ i ) b = ( e ( ln r ) + θ i ) b = e ( ( ln r ) + θ i ) b {\displaystyle a^{b}=\a izquierda(re^{theta i}\a derecha)^{b}=\a izquierda(e^{(\ln r)+\theta i}\a derecha)^{b}=e^{Izquierda((\ln r)+\theta i\a derecha)b}.
0 comentarios