Campo gravitatorio uniforme sin resistencia del aireEditar
Este es el caso «de libro» del movimiento vertical de un objeto que cae una pequeña distancia cerca de la superficie de un planeta. Es una buena aproximación en el aire siempre que la fuerza de la gravedad sobre el objeto sea mucho mayor que la fuerza de la resistencia del aire o, de forma equivalente, la velocidad del objeto sea siempre mucho menor que la velocidad terminal (ver más adelante).
v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\},} y ( t ) = v 0 t + y 0 + 1 2 g t 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{frac {1}{2}gt^{2}}
donde v 0 {\displaystyle v_{0}\} es la velocidad inicial (m/s). v ( t ) {\displaystyle v(t)\} es la velocidad vertical con respecto al tiempo (m/s). y 0 {\displaystyle y_{0}\} es la altitud inicial (m). y ( t ) {\displaystyle y(t)\} es la altitud con respecto al tiempo (m). t {\displaystyle t\} es el tiempo transcurrido (s). g {\displaystyle g\} es la aceleración debida a la gravedad (9,81 m/s2 cerca de la superficie de la tierra).
Campo gravitatorio uniforme con resistencia del aireEditar
Aceleración de un pequeño meteoroide al entrar en la atmósfera terrestre a diferentes velocidades iniciales.
Este caso, que se aplica a paracaidistas, paracaidistas o cualquier cuerpo de masa, m {\displaystyle m} y un área de sección transversal, A {\displaystyle A} con un número de Reynolds muy superior al número de Reynolds crítico, de modo que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad de caída, v {\displaystyle v} , tiene una ecuación de movimiento
m d v d t = m g – 1 2 ρ C D A v 2 , {\displaystyle m{{frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}{rho C_{mathrm {D} donde ρ {\displaystyle \rho } es la densidad del aire y C D {\displaystyle C_{mathrm {D}} es el coeficiente de arrastre. }} es el coeficiente de arrastre, que se supone constante aunque en general dependerá del número de Reynolds.
Suponiendo un objeto que cae desde el reposo y que no cambia la densidad del aire con la altura, la solución es:
v ( t ) = v ∞ tanh ( g t v ∞ ) , {\displaystyle v(t)=v_{infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{infty }}right),}
donde la velocidad terminal viene dada por
v ∞ = 2 m g ρ C D A . {\displaystyle v_{infty }={cuadrado} {\frac {2mg}{rho C_{D}}},.}
La velocidad del objeto en función del tiempo puede integrarse en el tiempo para encontrar la posición vertical en función del tiempo:
y = y 0 – v ∞ 2 g ln cosh ( g t v ∞ ) . {\displaystyle y=y_{0}-{\frac {v_{infty }^{2}}{g}}ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{infty }}right).}
Utilizando la cifra de 56 m/s para la velocidad terminal de un humano, se encuentra que después de 10 segundos habrá caído 348 metros y habrá alcanzado el 94% de la velocidad terminal, y después de 12 segundos habrá caído 455 metros y habrá alcanzado el 97% de la velocidad terminal. Sin embargo, cuando la densidad del aire no puede suponerse constante, como en el caso de los objetos que caen desde gran altura, la ecuación del movimiento se vuelve mucho más difícil de resolver analíticamente y suele ser necesaria una simulación numérica del movimiento. La figura muestra las fuerzas que actúan sobre los meteoroides que caen a través de la atmósfera superior de la Tierra. Los saltos HALO, incluidos los saltos récord de Joe Kittinger y Felix Baumgartner, también pertenecen a esta categoría.
Campo gravitatorio de ley inversa al cuadradoEditar
Se puede decir que dos objetos en el espacio que orbitan entre sí en ausencia de otras fuerzas están en caída libre uno alrededor del otro, por ejemplo, que la Luna o un satélite artificial «caen alrededor» de la Tierra, o un planeta «cae alrededor» del Sol. Suponer que los objetos son esféricos significa que la ecuación del movimiento se rige por la ley de la gravitación universal de Newton, y que las soluciones al problema gravitatorio de los dos cuerpos son órbitas elípticas que obedecen a las leyes de Kepler del movimiento planetario. Esta conexión entre los objetos que caen cerca de la Tierra y los objetos en órbita se ilustra mejor con el experimento mental, la bala de cañón de Newton.
El movimiento de dos objetos que se mueven radialmente el uno hacia el otro sin momento angular puede considerarse un caso especial de una órbita elíptica de excentricidad e = 1 (trayectoria elíptica radial). Esto permite calcular el tiempo de caída libre de dos objetos puntuales en una trayectoria radial. La solución de esta ecuación de movimiento da como resultado el tiempo en función de la separación:
t ( y ) = y 0 3 2 μ ( y y 0 ( 1 – y y 0 ) + arccos y y 0 ) , {\displaystyle t(y)={sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}{2\mu }}left({{sqrt {{frac {y}{0}}left(1-{\frac {y_0}}right)}+arccos {{sqrt {{frac {y}{0}}}}\right),
donde
t {\displaystyle t} es el tiempo tras el inicio de la caída y {\displaystyle y} es la distancia entre los centros de los cuerpos y 0 {\displaystyle y_{0}} es el valor inicial de y {\displaystyle y} μ = G ( m 1 + m 2 ) {displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})} es el parámetro gravitatorio estándar.
Sustituyendo y = 0 {\displaystyle y=0} obtenemos el tiempo de caída libre.
La separación en función del tiempo viene dada por la inversa de la ecuación. La inversa se representa exactamente por la serie de potencias analítica:
y ( t ) = ∑ n = 1 ∞ ) ] . {\displaystyle y(t)=\\Nsuma _{n=1}^{infty }\\Na la izquierda)\Na la derecha].}.
Evaluando esto se obtiene:
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