La ecuación de Schrödinger: Un mejor enfoque cuántico
Si bien el modelo de Bohr es capaz de predecir las energías permitidas de cualquier átomo o catión de un solo electrón, no es en absoluto, un enfoque general. Además, se basa en gran medida en las ideas clásicas, injertando torpemente la cuantificación en una imagen esencialmente clásica, y por lo tanto, no proporciona ninguna visión real de la verdadera naturaleza cuántica del átomo. Cualquier regla que sea capaz de predecir las energías permitidas de un sistema cuántico debe tener en cuenta la dualidad onda-partícula e incluir implícitamente una descripción ondulatoria de las partículas. No obstante, intentaremos un argumento heurístico para que el resultado sea al menos plausible. En la teoría electromagnética clásica, se deduce de las ecuaciones de Maxwell que cada componente de los campos eléctrico y magnético en el vacío es una solución de la ecuación de onda tridimensional para las ondas electromagnéticas:
La ecuación de onda en la ecuación \(\ref{3.1.1}\) es el análogo tridimensional de la ecuación de onda presentada anteriormente (ecuación 2.1.1) con la velocidad fijada a la velocidad conocida de la luz: \(c\). En lugar de una derivada parcial \(\dfrac{parcial^2}{parcial x^2}\) en una dimensión, se introduce el operador laplaciano (o «del-cuadrado»):
Correspondiendo, la solución a esta ecuación de onda en 3D es una función de cuatro variables independientes: \(x\), \(y\), \(z\), y \(t\) y se llama generalmente la función de onda \(\psi\).
Intentaremos ahora crear una ecuación análoga para las ondas de materia de de Broglie. Para ello, consideremos un movimiento ondulatorio unidimensional que se propaga en la dirección x. En un instante de tiempo dado, la forma de una onda podría estar representada por una función como
donde \(f(\theta)\) representa una función sinusoidal como \(\sin\theta\), \(\cos\theta), \(e^{i\theta}\), \(e^{-i\theta}\) o alguna combinación lineal de éstas. La forma más sugerente resultará ser la exponencial compleja, que se relaciona con el seno y el coseno por la fórmula de Euler
Cada una de las anteriores es una función periódica, su valor se repite cada vez que su argumento aumenta en \\pi}. Esto ocurre cada vez que \(x\) aumenta en una longitud de onda \(\lambda\). En un punto fijo del espacio, la dependencia temporal de la onda tiene una estructura análoga:
donde \(\nu\) da el número de ciclos de la onda por unidad de tiempo. Teniendo en cuenta tanto la dependencia de \(x\) como de \(t\), consideramos una función de onda de la forma
\label{3.1.6}]
que representa las ondas que viajan de izquierda a derecha. Ahora hacemos uso de la fórmula de Planck (\(E=h\nu\)) y de las fórmulas de Broglie (\(p=frac{h}{lambda}\)) para reemplazar \(\nu\) y \(\lambda\) por sus análogos de partículas. Así se obtiene
Donde
Dado que la constante de Planck aparece en la mayoría de las fórmulas con el denominador \(2\pi\), el símbolo \(\hbar) fue introducido por Paul Dirac. La ecuación \(\ref{3.1.5}\Nrepresenta de alguna manera la naturaleza ondulatoria de una partícula con energía \(E\) y momento \N(p\). La derivada en el tiempo de la ecuación \(\ref{3.1.7}\a) da
abel{3.1.9}]
Así, de una simple comparación de las ecuaciones \(\ref{3.1.7}\a) y \a1.7) y \ref{3.1.9}
o análogamente la diferenciación de la ecuación \ref{3.1.9} con respecto a la1.9) con respecto a \(x\)
y luego la segunda derivada
La energía y el momento para una partícula libre no relativista (es decir, toda la energía es cinética sin energía potencial) se relacionan mediante
Sustituyendo las ecuaciones \(\ref{3.1.12}\N y \N(\ref{3.1.10) en la ecuación \(\ref{3.1.13}) muestra que \(\Psi(x,t)\N satisface la siguiente ecuación diferencial parcial
La ecuación \(\ref{3.1.14}\Nes el resultado de la ecuación1.14}\Nes la ecuación diferencial aplicable que describe la función de onda de una partícula libre que no está ligada por ninguna fuerza externa o, equivalentemente, que no está en una región en la que su energía potencial \N(V(x,t)\Nvaría.
Para una partícula con una energía potencial no nula \(V(x)\N, la energía total \N(E\) es entonces una suma de las energías cinética y potencial
postulamos que la ecuación \N(\ref{3.1.3) para las ondas de la materia puede generalizarse a
{Psi(x,t) }{text}{ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en 1D}}{label{3.1.16}]
Para las ondas de materia en tres dimensiones, la ecuación \ref{3.1.6} se expande entonces
\Psi(\vec{r},t)}{text}{ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en 3D}{label{3.1.17}]
Para las ondas de materia en tres dimensiones, la ecuación \ref{3.1.6}{label{3.1.17}} se expande entonces.1.17}]
Aquí la energía potencial y las funciones de onda \(\Psi) dependen de las tres coordenadas espaciales \(x\), \(y\), \(z\), que escribimos por brevedad como \(\vec{r}\). Obsérvese que se supone que la energía potencial depende sólo de la posición y no del tiempo (es decir, del movimiento de la partícula). Esto es aplicable para las fuerzas conservativas que una función de energía potencial \(V(\vec{r})\Npuede ser formulada.
El operador laplaciano
Las tres segundas derivadas entre paréntesis se denominan operador laplaciano, o del-cuadrado,
con el operador del,
también se utiliza en Mecánica Cuántica. Los símbolos con flechas sobre ellos son vectores unitarios.
La ecuación \ref{3.1.17} es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo que describe la amplitud de la función de onda \(\si(\vec{r}, t)\f) de las ondas de materia asociadas a la partícula dentro de un potencial específico \(V(\vec{r})\f). Su formulación en 1926 representa el inicio de la mecánica cuántica moderna (Heisenberg en 1925 propuso otra versión conocida como mecánica matricial).
Para los sistemas conservadores, la energía es una constante, y el factor dependiente del tiempo de la ecuación \ref{3.17) puede separarse del factor que depende del espacio (a través de la técnica de Separación de Variables discutida en la Sección 2.2)
donde \(\psi(\vec{r})\) es una función de onda dependiente (o independiente del tiempo) que sólo depende de las coordenadas espaciales. Poniendo la ecuación \ref(3.1.18) en la ecuación \ref(3.1.17) y cancelando los factores exponenciales, obtenemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
\psi(\vec{r})=E\psi(\vec{r})} La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. \label{3.1.19}]
La forma general de la ecuación \ref{3.1.19} no es inusual o inesperada, ya que utiliza el principio de conservación de la energía. La mayoría de nuestras aplicaciones de la mecánica cuántica a la química se basarán en esta ecuación (con la excepción de la espectroscopia). Los términos de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo pueden interpretarse entonces como la energía total del sistema, igual a la energía cinética del sistema más la energía potencial del mismo. En este sentido, es igual que en la física clásica.
Dependencia temporal de las funciones de onda
Nótese que las funciones de onda utilizadas con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (es decir, \(\psi(\vec{r})\)) no tienen dependencias explícitas \(t\) como las funciones de onda del análogo dependiente del tiempo en la ecuación \(\ref{3.1.17}\) (es decir, \(\Psi(\vec{r},t)\). Esto no implica que no haya dependencia del tiempo en la función de onda. Volvamos a la ecuación \ref{3.1.18}:
La onda dependiente del tiempo (es decir, (es decir, espacial y temporal) difiere de la función de onda independiente del tiempo (es decir, sólo espacial) \psi(\vec{r},t)\Npor un «factor de fase» de magnitud constante. Utilizando la relación de Euler en la ecuación \ref{3.1.4}, la función de onda total anterior puede expandirse
Esto significa que la función de onda total tiene un comportamiento complejo con una parte real y una parte imaginaria. Además, utilizando la identidad de trigonometría \(\sin (\theta) = \cos (\theta – \pi/2)\) esto se puede simplificar aún más a
\
Por lo tanto, la parte imaginaria de la función de onda total oscila fuera de fase por \(\frac{\pi}{2}\ con respecto a la parte real. Aunque todas las funciones de onda tienen una dependencia del tiempo, esa dependencia puede no manifestarse en problemas cuánticos sencillos, como se analiza en las próximas secciones.
Pero antes de embarcarnos en esto, hagamos una pausa para comentar la validez de la mecánica cuántica. A pesar de su rareza, su abstracción y su extraña visión del universo como un lugar de aleatoriedad e imprevisibilidad, la teoría cuántica ha sido sometida a un intenso escrutinio experimental. Se ha comprobado que concuerda con los experimentos con una precisión superior a \(10^{-10}\%\) en todos los casos estudiados hasta ahora. Cuando la ecuación de Schrödinger se combina con una descripción cuántica del campo electromagnético, una teoría conocida como electrodinámica cuántica, el resultado es una de las teorías de la materia más precisas que se han propuesto. Teniendo esto en cuenta, avancemos en nuestra discusión sobre el universo cuántico y cómo aplicar la teoría cuántica tanto a las situaciones modelo como a las reales.
0 comentarios