Où se trouve une fonction à un point haut ou bas ? Calculus peut vous aider !
Un maximum est un point haut et un minimum est un point bas :
Dans une fonction à variation régulière, un maximum ou un minimum est toujours l’endroit où la fonction s’aplatit (sauf pour un point de selle).
Où s’aplatit-elle ? Là où la pente est nulle.
Où la pente est nulle ? La dérivée nous le dit !
Participons-en directement à un exemple :
Exemple : Une balle est lancée en l’air. Sa hauteur à tout instant t est donnée par :
h = 3 + 14t – 5t2
Quelle est sa hauteur maximale ?
En utilisant les dérivées, nous pouvons trouver la pente de cette fonction :
h = 0 + 14 – 5(2t)
= 14 – 10t
(Voir ci-dessous cet exemple pour savoir comment nous avons trouvé cette dérivée.)
Maintenant trouvez quand la pente est nulle :
La pente est nulle à t = 1,4 seconde
Et la hauteur à ce moment-là est :
Et donc :
La hauteur maximale est de 12.8 m (à t = 1,4 s)
Un rapide rappel sur les dérivées
Une dérivée permet essentiellement de trouver la pente d’une fonction.
Dans l’exemple précédent, nous avons pris ceci :
h = 3 + 14t – 5t2
et avons obtenu cette dérivée :
h = 0 + 14 – 5(2t)
= 14 – 10t
ce qui nous indique la pente de la fonction à tout instant t
Nous avons utilisé ces règles de dérivation :
- La pente d’une valeur constante (comme 3) est 0
- La pente d’une droite comme 2x est 2, donc 14t a une pente de 14
- Une fonction carrée comme t2 a une pente de 2t, donc 5t2 a une pente de 5(2t)
- Et puis nous les avons additionnées : 0 + 14 – 5(2t)
Comment savons-nous qu’il s’agit d’un maximum (ou d’un minimum)?
Nous l’avons vu sur le graphique ! Mais sinon… les dérivées viennent à nouveau à la rescousse.
Prenez la dérivée de la pente (la dérivée seconde de la fonction originale) :
La dérivée de 14 – 10t est -10
Cela signifie que la pente devient continuellement plus petite (-10) : en voyageant de gauche à droite, la pente commence par être positive (la fonction augmente), passe par zéro (le point plat), puis la pente devient négative (la fonction diminue):
Une pente qui devient plus petite (et passe par 0) signifie un maximum.
C’est ce qu’on appelle le test de la dérivée seconde
Sur le graphique ci-dessus, j’ai montré la pente avant et après, mais en pratique on fait le test au point où la pente est nulle :
Test de la dérivée seconde
Lorsque la pente d’une fonction est nulle en x, et que la dérivée seconde en x est :
- inférieure à 0, c’est un maximum local
- plus grande que 0, c’est un minimum local
- égale à 0, alors le test échoue (il peut y avoir d’autres moyens de le savoir cependant)
« Dérivée seconde : moins de 0 est un maximum, plus de 0 est un minimum »
Exemple : Trouvez les maxima et minima pour :
y = 5×3 + 2×2 – 3x
La dérivée (pente) est :
y = 15×2 + 4x – 3
Ce qui est quadratique avec des zéros à :
- x = -3/5
- x = +1/3
Pourraient-ils être des maxima ou des minima ? (Ne regardez pas encore le graphique !)
La dérivée seconde est y » = 30x + 4
À x = -3/5 :
À x = +1/3 :
(Vous pouvez maintenant regarder le graphique.)
Mots
Un point haut est appelé un maximum (pluriel maxima).
Un point bas est appelé un minimum (pluriel minima).
Le mot général pour maximum ou minimum est extremum (pluriel extrema).
On dit maximum (ou minimum) local quand il peut y avoir des points plus hauts (ou plus bas) ailleurs mais pas à proximité.
Un autre exemple
Exemple : Trouvez les maxima et minima pour :
y = x3 – 6×2 + 12x – 5
La dérivée est :
y = 3×2 – 12x + 12
Qui est quadratique avec un seul zéro à x = 2
Est-ce un maximum ou un minimum ?
La dérivée seconde est y » = 6x – 12
À x = 2 :
Et voici pourquoi :
C’est un point selle… la pente devient effectivement nulle, mais ce n’est ni un maximum ni un minimum.
Doit être différentiable
Et il y a un point technique important :
La fonction doit être différentiable (la dérivée doit exister en chaque point de son domaine).
Exemple : Que diriez-vous de la fonction f(x) = |x| (valeur absolue) ?
| |x| ressemble à ceci : |  |
Au niveau de x=0, elle a une modification très pointue !
En fait, elle n’est pas différentiable à cet endroit (comme le montre la page différentiable).
On ne peut donc pas utiliser cette méthode pour la fonction valeur absolue.
La fonction doit aussi être continue, mais toute fonction qui est différentiable est aussi continue, donc pas besoin de s’inquiéter à ce sujet.
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