Ratio d’or

Ratio d’or, également appelé nombre d’or, moyenne d’or ou proportion divine, en mathématiques, le nombre irrationnel (1 + Racine carrée de√5)/2, souvent désigné par la lettre grecque ϕ ou τ, qui est approximativement égal à 1,618. C’est le rapport d’un segment de droite coupé en deux morceaux de longueurs différentes tel que le rapport du segment entier à celui du segment le plus long est égal au rapport du segment le plus long au segment le plus court. L’origine de ce nombre remonte à Euclide, qui le mentionne comme le « rapport extrême et moyen » dans les Éléments. En termes d’algèbre actuelle, en laissant la longueur du segment le plus court être d’une unité et la longueur du segment le plus long être de x unités, on obtient l’équation (x + 1)/x = x/1 ; celle-ci peut être réarrangée pour former l’équation quadratique x2 – x – 1 = 0, pour laquelle la solution positive est x = (1 + Racine carrée de√5)/2, le nombre d’or.

Les Grecs anciens ont reconnu cette propriété de « division » ou de « section », une expression qui a finalement été raccourcie pour devenir simplement « la section ». C’est plus de 2 000 ans plus tard que les deux termes « rapport » et « section » ont été désignés comme « dorés » par le mathématicien allemand Martin Ohm en 1835. Les Grecs avaient également observé que le nombre d’or fournissait la proportion la plus esthétique des côtés d’un rectangle, une notion qui a été renforcée à la Renaissance par, notamment, les travaux du polymathe italien Léonard de Vinci et la publication de De divina proportione (1509 ; Divine proportion), écrit par le mathématicien italien Luca Pacioli et illustré par Léonard.

Le nombre d’or apparaît dans de nombreux contextes mathématiques. Il est géométriquement constructible par la règle et le compas, et il apparaît dans l’étude des solides d’Archimède et de Platon. C’est la limite des rapports des termes consécutifs de la suite numérique de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, dans laquelle chaque terme au-delà du deuxième est la somme des deux précédents, et c’est aussi la valeur de la plus élémentaire des fractions continues, à savoir 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 +⋯.

Dans les mathématiques modernes, le nombre d’or intervient dans la description des fractales, des figures qui présentent une autosimilarité et jouent un rôle important dans l’étude du chaos et des systèmes dynamiques.

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