Álgebra do Colégio

Propriedades de logaritmos

Recordar que as funções logarítmicas e exponenciais se “desfazem” umas às outras. Isto significa que os logaritmos têm propriedades semelhantes às dos expoentes. Algumas propriedades importantes dos logaritmos são dadas aqui. Em primeiro lugar, as seguintes propriedades são fáceis de provar.

\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{b}1=0\\{\mathrm{log}}_{b}b=1\end{array}

For example, {\i1}_{5}1=0 desde {5}^{0}=1 e {\i1}{5}5=1 desde {5}^{1}=5.

P>Próximo, temos a propriedade inversa.

begin{l}{l}hfill {mathrm{log}_{b}{b esquerda(b}^{x direita)=xhfill ^text{b}{b}^{mathrm{log}_{b}x,x>0hfill }end{array}

Por exemplo, para avaliar {\i1}esquerda(100), podemos reescrever o logaritmo como “mathrm{log}_{10}_esquerda(10}^{2}^direita) e depois aplicar a propriedade inversa “mathrm{log}_{b}{esquerda(b}^{x}direita)=x para obter “mathrm{log”_{10}_esquerda(10}^{2}{direita)=2.

Para avaliar o logaritmo {e}^{e}^{mathrm{ln}{esquerda(7}direita)=x, podemos reescrever o logaritmo como {e}^{mathrm{log}_7} e depois aplicar a propriedade inversa {b}^{b{mathrm{log}_{b}x=x para obter {e}^{{mathrm{log}_7}=7.

Finalmente, temos a propriedade um-para-um.

{\mathrm{log}}_{b}M={\mathrm{log}_{b}N=texto (se e só se)texto (}M=N

Podemos usar o umuma propriedade para resolver a equação {\i1}{\i1}_{\i1}esquerda(3x)={\i1}{\i1}esquerda(2x+5)direita) para x. Uma vez que as bases são as mesmas, podemos aplicar a propriedade um-para-um estabelecendo os argumentos iguais e resolvendo para x:

\begin{array}{l}3x=2x+5\hfill & {Definir os argumentos iguais}text{.hfill x=5hfill &text{Subtracto 2}xtext{.}hfill {.}end{array}

p> Mas e a equação {\i1}{3}esquerda(3xdireita)+{\i}_{3}esquerda(2x+5+direita)=2? A propriedade um-para-um não nos ajuda neste caso. Antes de podermos resolver uma equação como esta, precisamos de um método para combinar logaritmos no lado esquerdo da equação.

Usar a regra do produto para logaritmos

Recordar que usamos a regra do produto de expoentes para combinar o produto de expoentes através da adição: {x}^{a}{x}^{b}={x}^{a+b}. Temos uma propriedade semelhante para logaritmos, chamada regra do produto para logaritmos, que diz que o logaritmo de um produto é igual a uma soma de logaritmos. Como os logaritmos são expoentes e multiplicamo-nos como bases, podemos adicionar os expoentes. Utilizaremos a propriedade inversa para derivar a regra do produto abaixo.

Dado qualquer número real x e números reais positivos M, N, e b, onde b\ne 1, we will show

{\mathrm{log}}_{b}\left(MN\right)\text{= }{\mathrm{log}}_{b}\left(M\right)+{\mathrm{log}}_{b}\left(N\right).

Let m={\mathrm{log}_{b}M e n={\mathrm{log}_{b}N. De forma exponencial, estas equações são {b}^{m}=M e {b}^{n}=N. Segue-se que

\begin{array}{lllllllll}{mathrm{log}_{b}{b esquerda(MN=direita)|hfill & =Tradução e Revisão: Equipa PT-Substituto para Mxt (e N).\hfill & ={\i1}{b}{log}_esquerda(b}^{m+n}direita)hfill & {\i}text{Aplique a regra do produto para expoentes}.\hfill \hfill & =m+n\hfill &texto{Aplicar a propriedade inversa dos toros}.\hfill & ={\i1}{b}esquerda(M=direita)+{\i1}mathrm{log}_{b}esquerda(N=direita)hfill & {\i}text{Substituto para }mtext{ e }n.\hfill {array}

Nota que as aplicações repetidas da regra do produto para logaritmos nos permitem simplificar o logaritmo do produto de qualquer número de factores. Por exemplo, considerar \mathrm{log}_{b}(wxyz). Utilizando a regra do produto para logaritmos, podemos reescrever este logaritmo de um produto como a soma dos logaritmos dos seus factores:

Usando a Regra de Cotas para Logaritmos

Para cotas, temos uma regra semelhante para os logaritmos. Recorde-se que utilizamos a regra do quociente de expoentes para combinar o quociente de expoentes, subtraindo: {x}^{\frac{a}{b}}={x}^{a-b}. A regra do quociente para logaritmos diz que o logaritmo de um quociente é igual a uma diferença de logaritmos. Tal como com a regra do produto, podemos utilizar a propriedade inversa para derivar a regra do quociente.

Dado qualquer número real x e números reais positivos M, N, e b, onde b\ne 1, we will show

{\mathrm{log}}_{b}\left(\frac{M}{N}\right)\text{= }{\mathrm{log}}_{b}\left(M\right)-{\mathrm{log}}_{b}\left(N\right).

Deixe m={\mathrm{log}_{b}M e n={\mathrm{log}_{b}N. De forma exponencial, estas equações são {b}^{m}=M e {b}^{n}=N. Segue-se que

\begin{array}{l}{mathrm{log}_{b}{b esquerda(frac{M}{N}{direita)}hfill & =Tradução e Revisão: Equipa PT-Substituto para Mxt e N.\hfill & ={\i1}{b}{log}_esquerda(b}^{m-n}direita)hfill & {\i}texto{Aplique a regra do quociente para expoentes}.\hfill & =m-n=hfill &texto{Aplicar a propriedade inversa dos toros}.\hfill & ={\i1}{b}left(M) right(M) -{\i} -{\i1}mathrm{log}_{b}left(N) right(N) hfill & {\i}text{Substituto para {\i}mtext{ e }n.\Por exemplo, para expandir o MAThrm{log}{esquerda(2{x}^^{2{2}+6x}{3x+9}{x+9}}, devemos primeiro expressar o quociente em termos mais baixos. Factoring e cancelamento, obtemos

\begin{array}{lllll}{log}mathrm{esquerda(2{x}^{2{2}+6x}{3x+9}{direita) & =\mathrm{log}{esquerda(2x esquerda(x+3 direita)}{3 esquerda(x+3 direita)}hfill &texto{Factor o numerador e denominador}.\hfill &texto{}=mathrm{log}{esquerda(2x){3}hfill &texto{Cancelar os factores comuns}.\hfill {array}

P>Próximo aplicamos a regra do quociente subtraindo o logaritmo do denominador do logaritmo do numerador. Em seguida, aplicamos a regra do produto.

begin{array}{llll}mathrm{log}{esquerda(2x){3}{direita) & =mathrm{log}{esquerda(2x)direita)-mathrm{log}-esquerda(3x)direita)-hfill {texto &=mathrm{log}{esquerda(2}direita)+mathrm{log}{esquerda(x)direita)-mathrm{log}{esquerda(3}direita)|hfill |end{array}

Utilizar a regra do poder para Logaritmos

Explorámos a regra do produto e a regra do quociente, mas como podemos tomar o logaritmo de um poder, tal como {x}^{2}? Um método é o seguinte:

\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{b}\left({x}^{2}\right)\hfill & ={\i1}{b}esquerda(x\i}{cdot x\i}hfill {\i}hfill & ={\b}x+{\mathrm{log}_{b}xhfill & =2{\mathrm{log}_{b}xhfill {\b}xhfill

Notificação de que utilizámos a regra do produto para logaritmos para encontrar uma solução para o exemplo acima. Ao fazê-lo, derivámos a regra do poder para logaritmos, que diz que o log de um poder é igual ao expoente vezes o log da base. Tenha em mente que embora a entrada para um logaritmo possa não ser escrita como uma potência, podemos ser capazes de a mudar para uma potência. Por exemplo,

\begin{array}{lll}100={10}^{2}, \hfill & \sqrt{3}={3}^{3}^{\frac{1}{2}}, \hfill & \frac{1}{e}={e}^{-1}hfill }end{array}

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