Bringing ’21’ to the 21st Century
Nota: O código associado é encontrado neste Github repo
p> Quando um casino negoceia mãos de blackjack, muitos deles não embaralham o baralho após cada mão, no interesse do tempo. Com base nas cartas que foram retiradas do baralho em jogo anterior, um observador atento pode por vezes notar situações em que é rentável para o jogador contra a casa. Se o jogador aposta uma pequena quantia de dinheiro em geral, e aposta grandes somas nestas situações rentáveis, pode transformar um jogo “casa ganha sempre” num jogo rentável para o jogador.
Por exemplo, se muitas cartas baixas foram dadas, a situação é mais favorável para o jogador, uma vez que muitas cartas altas estão no baralho, por isso os blackjacks são mais prováveis, e o jogador deve apostar grandes quantias em cada mão.
A contagem de cartas foi popularizada no filme “21”, onde uma equipa de estudantes do MIT frequentou vários casinos de Las Vegas e contou as cartas para obter um lucro considerável. Criei uma folha Python para testar a viabilidade do seu modelo de negócio numa variedade de situações.
Sistema de Contagem de Cartas
Tipicamente os jogadores atribuem um valor de +1 a cartas baixas (2-6) e -1 a cartas altas (10-A) e alteram a contagem com base nas cartas que saíram. Em seguida, dividem-na pelo número de baralhos restantes. Por exemplo, se um casino começou com 4 baralhos, e distribuiu 10 cartas: A,2,5,8,T,3,4,8,K,5, um jogador atribuir-lhes-ia contagens de -1, +1, +1, +1, 0, -1, +1, +1, 0, -1, +1, o que somaria +2. Ainda há cerca de 3,8 baralhos para distribuir, pelo que a contagem real é 2/3,8 que é cerca de 0,53,
p> Permiti que o sistema de contagem de cartas fosse personalizável na minha folha, pelo que se pode adicionar valores personalizados para cartas baixas/med/alta e ases. Acredita-se normalmente que numa contagem de 0, o casino tem uma margem de aproximadamente 0,5% contra si, o que reduz em 0,5% à medida que a contagem aumenta em 1. Assim, numa contagem de -2, o casino tem uma margem de 1,5%, mas numa contagem de +3, tem uma margem de 1%. Se estiver a apostar $1 quando tem uma margem de 1,5% e a apostar $100 quando tem uma margem de 1%, terá um lucro considerável.
Parâmetros iniciais
Como mencionado anteriormente, a folha permite-lhe modificar os valores das cartas, bem como a margem inicial, e alterar a margem por contagem. É definida por defeito para o sistema +1/-1 (ver acima), e com uma margem por defeito de -0,5%, com a margem a aumentar 0,5% por +1 de contagem (delta_edge).
Para contar as cartas com precisão, também defini o número de baralhos que o casino utiliza e simulei o número médio de mãos que distribuem antes de baralhar, e a média de cartas distribuídas por mão. Isto é importante, como se tivessem dado apenas uma mão, num exemplo extremo, não seria possível contar as cartas.
Finalmente, precisamos de saber o mínimo e o máximo de apostas que podem ser feitas, pois apostaremos o mínimo em situações desfavoráveis, e o máximo em situações extremamente favoráveis. Incluí também um Kelly bankroll que o impede de fazer coisas como apostar 1/2 do seu dinheiro total numa margem de 0,01%.
Simulação
Fiz um determinado número de baralhos simulados (num_sims), e acompanhei as contagens. Utilizei então o critério de Kelly para determinar quanto o jogador apostaria nas diferentes situações, e calculei o valor esperado de cada borda. No fundo da folha, calculei a borda total em todas as simulações.
Caso de Estudo (Folha)
Número de Decks: 4
Mãos antes de embaralhar:8
Cartas Por Mão: 7
Aposta Mínima: $1
Aposta Máxima: $100
Kelly Bankroll: $500.000
Usando estes parâmetros, depois de 100.000 decks terem sido repartidos, o jogador atingiu uma borda total de $2.614. A margem média foi aproximadamente 65 desvios padrão acima de 0, o que significa que o processo foi enfadonho mas definitivamente rentável.
Possíveis Melhoramentos
Utilizei algumas heurísticas muito amplas para a margem inicial, como a margem muda com a contagem, e como a contagem muda com cada carta distribuída. Um ‘2’ vale provavelmente uma quantia diferente do que um ‘6’, um ‘A’ vale definitivamente uma quantia diferente do que um ‘K’, e não tenho a certeza se 7-9 cartas são realmente inconsequentes. Podemos refinar ainda mais a fórmula através de simulações em diferentes situações. Precisaríamos de cerca de 500 milhões de simulações para chegar a 0,01% da margem real, e 50 mil milhões de simulações para chegar a 0,001%, dependendo de quão finamente quisermos estudar o problema. A dinâmica da margem também muda com cada permutação de regras de blackjack, pelo que precisamos de executar um conjunto diferente de simulações para cada uma delas.
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