Razão dourada

Razão dourada, também conhecida como a secção dourada, média dourada, ou proporção divina, em matemática, o número irracional (1 + raiz quadrada of√5)/2, frequentemente denotado pela carta grega ϕ ou τ, que é aproximadamente igual a 1,618. É a proporção de um segmento de linha cortado em dois pedaços de comprimentos diferentes, de tal forma que a proporção do segmento inteiro para o segmento mais longo é igual à proporção do segmento mais longo para o segmento mais curto. A origem deste número pode ser rastreada até Euclides, que o menciona como a “razão extrema e média” nos Elementos. Em termos de álgebra actual, deixar o comprimento do segmento mais curto ser uma unidade e o comprimento do segmento mais longo ser x unidades dá origem à equação (x + 1)/x = x/1; esta pode ser rearranjada para formar a equação quadrática x2 – x – 1 = 0, para a qual a solução positiva é x = (1 + raiz quadrada of√5)/2, a razão áurea.

Os antigos gregos reconheceram esta propriedade de “divisão” ou “seccionamento”, uma frase que acabou por ser encurtada para simplesmente “a secção”. Foi mais de 2.000 anos depois que tanto a “proporção” como a “secção” foram designadas como “douradas” pelo matemático alemão Martin Ohm, em 1835. Os gregos também tinham observado que a proporção de ouro proporcionava a proporção esteticamente mais agradável dos lados de um rectângulo, uma noção que foi reforçada durante o Renascimento, por exemplo, pela obra do polimata italiano Leonardo da Vinci e a publicação de De divina proportione (1509; Proporção Divina), escrita pelo matemático italiano Luca Pacioli e ilustrada por Leonardo.

A proporção de ouro ocorre em muitos contextos matemáticos. É geometricamente construível por retas e bússola, e ocorre na investigação dos sólidos arquimedesanos e platónicos. É o limite dos rácios de termos consecutivos da sequência numérica Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, em que cada termo para além do segundo é a soma dos dois anteriores, e é também o valor das fracções mais básicas de continuidade, nomeadamente 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 +⋯.

Na matemática moderna, a proporção de ouro ocorre na descrição dos fractais, figuras que exibem auto-similaridade e desempenham um papel importante no estudo do caos e dos sistemas dinâmicos.

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