Campo gravitacional uniforme sem resistência do arEdit
Este é o caso do “livro de texto” do movimento vertical de um objecto que cai a uma pequena distância perto da superfície de um planeta. É uma boa aproximação no ar desde que a força da gravidade sobre o objecto seja muito maior do que a força da resistência do ar, ou equivalentemente a velocidade do objecto é sempre muito menor do que a velocidade terminal (ver abaixo).
v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y ( t ) = v 0 t + y 0 + 1 2 g t 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac {1}{2}}}gt^{2}}} 0 {0},} é a velocidade inicial (m/s). v ( t ) {\i1}é a velocidade vertical em relação ao tempo (m/s). y 0 {\i1}é a altitude inicial (m). y ( t ) estilo y(t)} é a altitude em relação ao tempo (m). t {\i1} é o tempo decorrido (s). g g {\i1}estilo de exibição g\,} é a aceleração devido à gravidade (9,81 m/s2 perto da superfície da terra).
Campo gravitacional uniforme com resistência do arEdit
Aceleração de um pequeno meteoróide ao entrar na atmosfera da Terra a diferentes velocidades iniciais.
Este caso, que se aplica a pára-quedistas, pára-quedistas ou qualquer corpo de massa, m {\displaystyle m} e secção transversal, A A com o número Reynolds bem acima do número crítico de Reynolds, de modo a que a resistência do ar seja proporcional ao quadrado da velocidade de queda, v {\displaystyle v} , tem uma equação de movimento
m d v d t = m g – 1 2 ρ C D A v 2 , m m mfracm estilo de jogo {\i1}{\i1} v}mathrm {\i}=mg-{\i1}mfrac {\i}{\i1}rho C_mathrm {\i} Av^,,,
onde ρ ρ é a densidade do ar e o C D D é o C_mathrm estilo C_displaystyle }} é o coeficiente de arrasto, assumido como constante embora em geral dependa do número Reynolds.
Assumindo que um objecto cai do repouso e nenhuma alteração na densidade do ar com a altitude, a solução é:
v ( t ) = v ∞ tanh ( g t v ∞ ) , {\i1}displaystyle v(t)=v_{\i1}tanh {\i1}esquerda(v_\i}{v_{\i}{v_esquerda {\i}),}p>onde a velocidade terminal é dada por v ∞ = 2 m g ρ C D A . v_infty {\i}={sqrt {\i}{2mg}{\i1}rho C_{D}A}},.{\i}
A velocidade do objecto versus tempo pode ser integrada ao longo do tempo para encontrar a posição vertical em função do tempo:
y = y 0 – v ∞ 2 g ln cosh ( g t v ∞ ) . y=y_{0}-{0}-frac {v_{v_{2}^{g}}{g}ln {g}{g}{g=esquerda(squerda(squerda(squerda(squerda(squerda(squerda(squerda(squerda(squerda(s)))
Usando o valor de 56 m/s para a velocidade terminal de um humano, verifica-se que após 10 segundos terá caído 348 metros e atingido 94% da velocidade terminal, e após 12 segundos terá caído 455 metros e terá atingido 97% da velocidade terminal. Contudo, quando não se pode assumir que a densidade do ar seja constante, como no caso de objectos que caem de grande altitude, a equação do movimento torna-se muito mais difícil de resolver analiticamente, sendo normalmente necessária uma simulação numérica do movimento. A figura mostra as forças que actuam sobre os meteoróides que caem através da atmosfera superior da Terra. Os saltos HALO, incluindo os saltos de Joe Kittinger e Felix Baumgartner, também pertencem a esta categoria.
Campo gravitacional da lei do quadrado inversoEdit
Pode-se dizer que dois objectos no espaço orbitando um ao outro na ausência de outras forças estão em queda livre um ao redor do outro, por exemplo, que a Lua ou um satélite artificial “cai ao redor” da Terra, ou um planeta “cai ao redor” do Sol. Assumindo objectos esféricos significa que a equação do movimento é governada pela lei de Newton da gravitação universal, sendo as soluções para o problema gravitacional de dois corpos as órbitas elípticas obedecendo às leis de Kepler do movimento planetário. Esta ligação entre objectos em queda perto da Terra e objectos em órbita é melhor ilustrada pela experiência do pensamento, a bola de canhão de Newton.
O movimento de dois objectos movendo-se radialmente um em direcção ao outro sem impulso angular pode ser considerado um caso especial de uma órbita elíptica de excentricidade e = 1 (trajectória elíptica radial). Isto permite calcular o tempo de queda livre para dois objectos pontiagudos numa trajectória radial. A solução desta equação de movimento produz tempo em função da separação:
t ( y ) = y 0 3 2 μ ( y y y 0 ( 1 – y y 0 ) + arccos y y 0 ) …, estilo de jogo t(y)={sqrt {y_frac {y_0}^{2mu {\i}}{esquerda(sqrt {y_frac {y_0}}{y}}}}}},
where
t {\i1} é o tempo após o início da queda y{\i} é a distância entre os centros dos corpos y 0 {\i} é o valor inicial de y {\i} μ = G ( m 1 + m 2 ) {\i1} é o parâmetro gravitacional padrão.
Substituindo y = 0 {\displaystyle y=0} obtemos o tempo de queda livre.
A separação em função do tempo é dada pelo inverso da equação. O inverso é representado exactamente pela série de potência analítica:
y ( t ) = ∑ n = 1 ∞ ) ] . estilo de jogo y(t)=sum _{n=1}^^simplesmente esquerda direita){displaystyle y(t)=sum _{n=1}{esquerda direita){displaystyle y(t)=sum
Avaliando este rendimento:
0 comentários