Rapporto aureo

Rapporto aureo, noto anche come sezione aurea, media aurea, o proporzione divina, in matematica, il numero irrazionale (1 + radice quadrata di√5)/2, spesso indicato con la lettera greca ϕ o τ, che è circa uguale a 1,618. È il rapporto di un segmento di linea tagliato in due pezzi di lunghezza diversa tale che il rapporto del segmento intero con quello del segmento più lungo è uguale al rapporto del segmento più lungo con quello più corto. L’origine di questo numero può essere fatta risalire a Euclide, che lo menziona come “rapporto estremo e medio” negli Elementi. In termini di algebra odierna, lasciando che la lunghezza del segmento più corto sia un’unità e la lunghezza del segmento più lungo sia x unità, si ottiene l’equazione (x + 1)/x = x/1; questa può essere riorganizzata per formare l’equazione quadratica x2 – x – 1 = 0, per la quale la soluzione positiva è x = (1 + radice quadrata di√5)/2, il rapporto aureo.

Gli antichi greci riconobbero questa proprietà di “divisione” o “sezionamento”, una frase che alla fine fu abbreviata in semplicemente “la sezione”. Fu più di 2.000 anni dopo che sia il “rapporto” che la “sezione” furono designati come “aurei” dal matematico tedesco Martin Ohm nel 1835. I greci avevano anche osservato che il rapporto aureo forniva la proporzione esteticamente più piacevole dei lati di un rettangolo, una nozione che fu rafforzata durante il Rinascimento, per esempio, dal lavoro del polimatico italiano Leonardo da Vinci e dalla pubblicazione del De divina proportione (1509), scritto dal matematico italiano Luca Pacioli e illustrato da Leonardo.

Il rapporto aureo ricorre in molti contesti matematici. È geometricamente costruibile con riga e compasso, e ricorre nell’indagine dei solidi archimedei e platonici. È il limite dei rapporti dei termini consecutivi della sequenza numerica di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, in cui ogni termine oltre il secondo è la somma dei due precedenti, ed è anche il valore della più elementare delle frazioni continue, cioè 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 +⋯.

Nella matematica moderna, il rapporto aureo ricorre nella descrizione dei frattali, figure che mostrano autosimilarità e giocano un ruolo importante nello studio del caos e dei sistemi dinamici.