A e B sono sposati. Hanno due figli. Uno di loro è una femmina. Qual è la probabilità che anche l’altro bambino sia femmina?
Questo è un classico problema di probabilità. Ciò che rende questa domanda confusa è il fatto che la domanda è ambigua, poiché potrebbe non esistere “l’altro bambino”.
Supponiamo che una coppia abbia due figli, chiamati $mathcal{X}$ e $mathcal{Y}$. Quando si dice “uno di loro è una ragazza” due possibili interpretazioni sono:
#1 Qualcuno mi ha detto che la coppia ha almeno una ragazza, ma non so se entrambi i bambini sono ragazze, se $\mathcal{X}$ è una ragazza, o se $\mathcal{Y}$ è una ragazza; i casi possibili sono GG, GB, BG. Voglio calcolare la probabilità che entrambi i figli della coppia siano femmine (GG).
o
#2 Qualcuno mi ha detto che $\mathcal{X}$ è una femmina ma non so se $\mathcal{Y}$ è un maschio o una femmina; i casi possibili sono GG, GB. Voglio calcolare la probabilità che anche $\mathcal{Y}$ sia una ragazza (GG).
Ora, puoi rispondere a ciascuna di queste domande usando, per esempio, espressioni per probabilità condizionali (le risposte alle interpretazioni #1 e #2 sono 1/3 e 1/2, rispettivamente). Tuttavia, se siete rimasti con una sensazione di “certo, vedo come si può ottenere quel risultato, ma perché la mia risposta non è corretta?” continuate a leggere.
Interpretazione #1:
(Questa è quella che mi confonde in modo interessante.)
Quando pensate per la prima volta al problema potreste usare il seguente ragionamento (scorretto):
So che almeno uno dei bambini è una ragazza, qual è la probabilità che anche l’altro bambino (il bambino di sesso sconosciuto) sia una ragazza? beh, non dovrebbe essere 1/2? Voglio dire, l’altro bambino può essere un maschio o una femmina a prescindere… giusto?
Uno dei problemi di questo ragionamento è che non esiste “il bambino di genere sconosciuto” (quindi, non esiste “l’altro bambino”). Infatti, non si conosce il genere di nessuno dei due bambini (in questa interpretazione entrambi i bambini hanno un genere sconosciuto!). Tutto quello che sapete è che c’è una ragazza da qualche parte, ma non sapete quale dei due bambini è la ragazza. Come potete sperare di calcolare la probabilità che l’altro bambino (il bambino di genere sconosciuto) sia una ragazza se non esiste una cosa come “il bambino di genere sconosciuto”? Infatti, se vi capita di sapere che $mathcal{X}$ (o $mathcal{Y}$) è una ragazza allora state usando una diversa interpretazione della domanda (interpretazione #2).
L’altro problema con questo ragionamento è legato all’indipendenza. Come le persone hanno fatto notare, data l’ipotesi generale che ci sia almeno una ragazza, “il sesso di $mathcal{X}$” e “il sesso di $mathcal{Y}$” non sono variabili casuali indipendenti. Questo è facile da vedere poiché, per esempio, se $mathcal{X}$ è un ragazzo allora $mathcal{Y}$ è forzato ad essere una ragazza con probabilità 1 (non 1/2). Questa mancanza di indipendenza è la ragione per cui non si può dire che uno dei due bambini è un maschio o una femmina indipendentemente dall’altro.
Derivazione formale della risposta all’interpretazione #1:
Utilizzando la formula per le probabilità condizionali abbiamo P\begin{align*}P\big(\testo{ Entrambi sono femmine} \big| \testo{ Almeno una ragazza}\big)&=\frac{P\big(\big(\testo{ Entrambi sono femmine})\cap\big(\testo{Almeno una Almeno una ragazza))>&=P\frac{P\frac{P\frac{P\frac(\testo{Mai una ragazza)>=P\frac{P\frac(\testo{Mai una ragazza)>&=P\frac{P\frac(\testo{Mai una ragazza)\frac sono ragazze)}{Più grande(\testo{Almeno una ragazza)}&= \frac{1/4{3/4}= \frac{1/4{3}{3/4}.\end{align*}
Interpretazione #2:
Non credo ci sia nulla di confuso in questa interpretazione. Si sa che $mathcal{X}$ è una ragazza e $mathcal{Y}$ può essere una ragazza o un ragazzo indipendentemente da $mathcal{X}$. In questo caso, le variabili casuali “il sesso di $\mathcal{X}$” e “il sesso di $\mathcal{Y}$” non sono legate da alcun presupposto generale aggiunto e sono indipendenti.
Derivazione formale della risposta all’interpretazione #2:
Utilizzando l’indipendenza del genere del secondo figlio rispetto al genere del primo figlio:
inizio{align*} P\big(\testo{Il secondo è una ragazza} \big| {\testo{ Il primo è una ragazza}}big)=P\big(\testo{ Il secondo è una ragazza}big)=\frac{1}{2}.\end{align*}
Per quanto riguarda la seconda domanda:
Ora A e B hanno 4 figli e sono tutti maschi. B è incinta. Qual è la probabilità che A e B siano dotati di una bambina? È 1/2 o ci sarà qualche probabilità condizionata?
La risposta è che il genere del prossimo bambino è indipendente dal genere dei primi quattro bambini (per ipotesi), questo perché non c’è un’ulteriore ipotesi generale che coinvolge il prossimo bambino. La risposta è quindi semplicemente $1/2$. (Questo è proprio come nell’Interpretazione #2.)
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