Come nel caso reale, la funzione esponenziale può essere definita sul piano complesso in diverse forme equivalenti. La definizione più comune della funzione esponenziale complessa è parallela alla definizione di serie di potenza per argomenti reali, dove la variabile reale è sostituita da una complessa:
exp z := ∑ k = 0 ∞ z k k ! {\displaystyle \exp z:={sum _{k=0}^{infty }{frac {z^{k}}{k!}}
In alternativa, la funzione esponenziale complessa può essere definita modellando la definizione di limite per argomenti reali, ma con la variabile reale sostituita da una complessa:
exp z := lim n → ∞ ( 1 + z n ) n {displaystyle \exp z:=\lim _{n\to \infty }}left(1+\frac {z}{n}}destra)^{n}
Per la definizione di serie di potenza, la moltiplicazione per termini di due copie di questa serie di potenza in senso Cauchy, permessa dal teorema di Mertens, mostra che la proprietà moltiplicativa definente delle funzioni esponenziali continua a valere per tutti gli argomenti complessi:
exp ( w + z ) = exp w exp z per tutti i w , z ∈ C {\displaystyle \exp(w+z)=\exp w\exp z{ per tutti {w,z{ in \mathbb {C} }
La definizione della funzione esponenziale complessa porta a sua volta alle opportune definizioni che estendono le funzioni trigonometriche ad argomenti complessi.
In particolare, quando z = it (t reale), la definizione della serie produce l’espansione
exp i t = ( 1 – t 2 2 ! + t 4 4 ! – t 6 6 ! + ⋯ ) + i ( t – t 3 3 ! + t 5 5 ! – t 7 7 ! + ⋯ ) . {\displaystyle \exp it=={sinistra(1-{\frac {t^{2}}{2!}+{\frac {t^{4}}{4!}-{\frac {t^{6}{6!}+cdots \destra)+i\left(t-{\frac {t^{3}{3!}+{\frac {t^{5}}{5!}-{\frac {t^{7}{7!}+cdots \destra).}
In questa espansione, la riorganizzazione dei termini in parti reali e immaginarie è giustificata dalla convergenza assoluta della serie. Le parti reali e immaginarie dell’espressione precedente corrispondono infatti alle espansioni in serie di cos t e sin t, rispettivamente.
Questa corrispondenza fornisce la motivazione per definire coseno e seno per tutti gli argomenti complessi in termini di exp ( ± i z ) {\displaystyle \exp(\pm iz)}
e la serie di potenza equivalente: cos z := exp i z + exp ( – i z ) 2 = ∑ k = 0 ∞ ( – 1 ) k z 2 k ( 2 k ) ! , e sin z := exp i z – exp ( – i z ) 2 i = ∑ k = 0 ∞ ( – 1 ) k z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! per tutte le z ∈ C . {\displaystyle {begin{aligned}\cos z&:={\frac {\exp iz+exp(-iz)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!&:={{frac {{exp iz-\exp(-iz)}{2i}}=somma _{k=0}^{infty }(-1)^{k}{frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!} fine{aligned}{{{text{per tutti}z in \mathbb {C}.
Le funzioni exp, cos e sin così definite hanno raggi di convergenza infiniti per il test del rapporto e sono quindi funzioni intere (cioè, olomorfe su C {displaystyle \mathbb {C} }
). L’intervallo della funzione esponenziale è C ∖ { 0 } ∖ 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 \setminus \0}}
, oppure C {displaystyle \mathbb {C} }
Queste definizioni per le funzioni esponenziali e trigonometriche portano banalmente alla formula di Eulero:
exp i z = cos z + i sin z per tutti gli z ∈ C {displaystyle exp iz=cos z+i\sin z{ per tutti gli z in \mathbb {C} }
.
Possiamo in alternativa definire la funzione esponenziale complessa sulla base di questa relazione. Se z = x + iy, dove x e y sono entrambi reali, allora potremmo definire la sua esponenziale come
exp z = exp ( x + i y ) := ( exp x ) ( cos y + i sin y ) {\displaystyle \exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\sin y)}
dove exp, cos, e sin sul lato destro del segno di definizione devono essere interpretati come funzioni di una variabile reale, precedentemente definite con altri mezzi.
Per t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} }
, la relazione exp i t ¯ = exp ( – i t ) {\displaystyle {\overline {\exp it}}=\exp(-it)}
tiene, così che | exp i t | = 1 {displaystyle |exp it|=1}
per t reale {\displaystyle t}
mappa la linea reale (mod 2π) al cerchio unitario nel piano complesso. Inoltre, passando da t = 0 {\displaystyle t=0}
a t = t 0 {displaystyle t=t_{0}
, la curva definita da γ ( t ) = exp i t {\displaystyle \gamma (t)=\exp it}
traccia un segmento del cerchio unitario di lunghezza ∫ 0 t 0 | γ ′ ( t ) | d t = ∫ 0 t 0 | i exp i t | d t = t 0 {displaystyle \int _{0}^{t_{0}}|\gamma ‘(t)|dt=\int _{0}^{t_{0}}|i\exp it|dt=t_{0}}
,
partendo da z = 1 nel piano complesso e andando in senso antiorario. Sulla base di queste osservazioni e del fatto che la misura di un angolo in radianti è la lunghezza dell’arco sul cerchio unitario sotteso dall’angolo, è facile vedere che, limitatamente ad argomenti reali, le funzioni seno e coseno come definite sopra coincidono con le funzioni seno e coseno introdotte nella matematica elementare attraverso nozioni geometriche.
La funzione esponenziale complessa è periodica con periodo 2πi e exp ( z + 2 π i k ) = exp z {displaystyle \exp(z+2\pi ik)=exp z}
vale per tutti z ∈ C , k ∈ Z {displaystyle z\in \mathbb {C} ,k in \mathbb {Z} }
Quando il suo dominio è esteso dalla linea reale al piano complesso, la funzione esponenziale mantiene le seguenti proprietà:
e z + w = e z e w e 0 = 1 e z ≠ 0 d d z e z = e z ( e z ) n = e n z , n ∈ Z per tutti w , z ∈ C {\displaystyle {begin{aligned}e^{z+w}=e^{z}e^{w},\\1,\e^{0}=1,\e^{z}neq 0{tfrac {d}{dz}}e^{z}=e^{z}sinistra(e^{z}destra)^{n}=e^{nz},n in \mathbb {Z} \per tutti gli elementi w, z, in C }
.
Estendendo il logaritmo naturale ad argomenti complessi si ottiene il logaritmo complesso log z, che è una funzione multivaluta.
Possiamo quindi definire un’esponenziazione più generale:
z w = e w log z {displaystyle z^{w}=e^{w\log z}
per tutti i numeri complessi z e w. Questa è anche una funzione multivalente, anche quando z è reale. Questa distinzione è problematica, poiché le funzioni multivalutate log z e zw sono facilmente confuse con i loro equivalenti a valore singolo quando si sostituisce un numero reale per z. La regola sulla moltiplicazione degli esponenti per il caso dei numeri reali positivi deve essere modificata in un contesto multivalutato:
(ez)w ≠ ezw, ma piuttosto (ez)w = e(z + 2niπ)w multivalutato su interi n
Vedi il fallimento delle potenze e delle identità dei logaritmi per ulteriori problemi con la combinazione delle potenze.
La funzione esponenziale mappa qualsiasi linea nel piano complesso in una spirale logaritmica nel piano complesso con il centro nell’origine. Esistono due casi speciali: quando la linea originale è parallela all’asse reale, la spirale risultante non si chiude mai su se stessa; quando la linea originale è parallela all’asse immaginario, la spirale risultante è un cerchio di qualche raggio.
- 3D-Plot di parte reale, parte immaginaria, e modulo della funzione esponenziale
-
z = Re(ex + iy)
-
z = Im(ex + iy)
-
z = |ex + iy|
- Grafico della funzione esponenziale complessa
-
Tasto di controllo:
x > 0 : verde {\displaystyle x>0:\testo{verde}}x < 0 : rosso {displaystyle x<0:\;{\testo{rosso}}}
y > 0 : giallo {displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}
y < 0 : blu {displaystyle y<0:\;{\testo{blu}}}
-
Proiezione sul piano complesso della gamma (V/W). Confrontare con la prossima immagine prospettica.
-
Proiezione nella x {\displaystyle x}
, v {displaystyle v}
, e w {displaystyle w}
dimensioni, producendo una forma di corno svasato o imbuto (immaginato come immagine prospettica 2-D).
-
Proiezione nelle dimensioni y, v, e w, producendo una forma a spirale. (gamma y estesa a ±2π, sempre come immagine prospettica 2-D).
- lo zero è mappato su 1
- l’asse reale x è mappato sull’asse reale positivo v
- l’asse immaginario y è avvolto attorno al cerchio unitario ad una velocità angolare costante
- i valori con parti reali negative sono mappati all’interno del cerchio unitario
- i valori con parti reali positive sono mappati all’esterno del cerchio unitario
- i valori con una parte reale costante sono mappati su cerchi centrati a zero
- i valori con una parte immaginaria costante sono mappati su raggi che si estendono da zero
Considerando la funzione esponenziale complessa come una funzione coinvolgente quattro variabili reali:
v + i w = exp ( x + i y ) {\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}
il grafico della funzione esponenziale è una superficie bidimensionale che curva attraverso quattro dimensioni.
Partendo da una porzione del dominio xy codificata a colori, le seguenti sono rappresentazioni del grafico variamente proiettato in due o tre dimensioni.
La seconda immagine mostra come il piano complesso del dominio è mappato nel piano complesso dell’intervallo:
La terza e la quarta immagine mostrano come il grafico nella seconda immagine si estende in una delle altre due dimensioni non mostrate nella seconda immagine.
La terza immagine mostra il grafico esteso lungo l’asse x reale. Mostra che il grafico è una superficie di rivoluzione intorno all’asse x del grafico della funzione esponenziale reale, producendo una forma a corno o a imbuto.
La quarta immagine mostra il grafico esteso lungo l’asse y immaginario. Mostra che la superficie del grafico per i valori positivi e negativi di y non si incontra realmente lungo l’asse v reale negativo, ma forma invece una superficie a spirale intorno all’asse y. Poiché i suoi valori y sono stati estesi a ±2π, questa immagine rappresenta anche meglio la periodicità 2π nel valore y immaginario.
Calcolo di ab dove sia a che b sono complessiModifica
L’esponenziazione complessa ab può essere definita convertendo a in coordinate polari e usando l’identità (eln a)b = ab:
a b = ( r e θ i ) b = ( e ( ln r ) + θ i ) b = e ( ( ln r ) + θ i ) b {\displaystyle a^{b}=sinistra(re^{\theta i}} destra)^{b}=sinistra(e^{(\ln r)+\theta i}} destra)^{b}=e^{\left((\ln r)+\theta i\ destra)b}
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