L’equazione di Schrödinger: Un approccio quantistico migliore
Sebbene il modello di Bohr sia in grado di predire le energie permesse di qualsiasi atomo o catione a singolo elettrone, non è affatto un approccio generale. Inoltre, si basa pesantemente su idee classiche, innestando maldestramente la quantizzazione su un quadro essenzialmente classico, e quindi, non fornisce reali intuizioni sulla vera natura quantistica dell’atomo. Qualsiasi regola che possa essere in grado di predire le energie permesse di un sistema quantistico deve anche tener conto della dualità onda-particella e includere implicitamente una descrizione ondulatoria per le particelle. Tuttavia, tenteremo un argomento euristico per rendere il risultato almeno plausibile. Nella teoria elettromagnetica classica, segue dalle equazioni di Maxwell che ogni componente dei campi elettrici e magnetici nel vuoto è una soluzione dell’equazione d’onda 3-D per le onde elettromagnetiche:
L’equazione d’onda nell’equazione \(\ref{3.1.1}\) è l’analogo tridimensionale dell’equazione d’onda presentata prima (equazione 2.1.1) con la velocità fissata alla velocità nota della luce: \(c\). Invece di una derivata parziale \(\dfrac{\parziale^2}{\parziale x^2}}) in una dimensione, viene introdotto l’operatore Laplaciano (o “del-quadrato”):
Corrispondentemente, la soluzione di questa equazione d’onda 3D è una funzione di quattro variabili indipendenti: \(x), \(y), \(z), e \(t) ed è generalmente chiamata la funzione d’onda \(\psi\).
Tenteremo ora di creare un’analoga equazione per le onde di materia di de Broglie. Di conseguenza, consideriamo un moto ondulatorio unidimensionale che si propaga nella direzione x. In un dato istante di tempo, la forma dell’onda potrebbe essere rappresentata da una funzione come
dove \(f(\theta)\) rappresenta una funzione sinusoidale come \(\sin\theta\), \(\cos’\teta\), \(e^{i\teta\), \(e^-i\teta\) o qualche combinazione lineare di queste. La forma più suggestiva risulterà essere l’esponenziale complesso, che è legato al seno e al coseno dalla formula di Eulero
Ognuno di questi è una funzione periodica, il suo valore si ripete ogni volta che il suo argomento aumenta di \(2\pi\). Questo accade ogni volta che \(x\) aumenta di una lunghezza d’onda \(\lambda\). In un punto fisso nello spazio, la dipendenza dal tempo dell’onda ha una struttura analoga:
dove \(\nu\) dà il numero di cicli dell’onda per unità di tempo. Tenendo conto della dipendenza di \(x) e \(t), consideriamo una funzione d’onda della forma
{3.1.6}} che rappresenta le onde che viaggiano da sinistra a destra. Ora facciamo uso della formula di Planck (\(E=h\nu\)) e delle formule di de Broglie (\(p=frac{h}{lambda\)) per sostituire \(\nu\) e \(\lambda\) con i loro analoghi delle particelle. Questo dà
\label{3.1.7}}]
dove
Siccome la costante di Planck ricorre nella maggior parte delle formule con il denominatore \(2\pi\), il simbolo \(\hbar\) fu introdotto da Paul Dirac. L’equazione \(\ref{3.1.5}} rappresenta in qualche modo la natura ondulatoria di una particella con energia \(E\) e quantità di moto \(p\). La derivata temporale dell’equazione \(\ref{3.1.7}} dà
{3.1.9}]
Così da un semplice confronto tra le equazioni \(\ref{3.1.7}) e \(\ref{3.1.7})
.1.7} e \(\ref{3.1.9})
\
o analogamente la differenziazione dell’equazione \(\ref{3.1.9}\ rispetto a \(x\)
\
e poi la derivata seconda
\
L’energia e la quantità di moto per una particella libera non relativistica (cioè, tutta l’energia è cinetica senza energia potenziale coinvolta) sono correlate da
Sostituendo le equazioni \(\ref{3.1.12}\) e \(\ref{3.1.10}) nell’equazione \(\ref{3.1.13}} mostra che \(\Psi(x,t)\) soddisfa la seguente equazione differenziale parziale
\
L’equazione \(\ref{3.1.14) è l’equazione differenziale applicabile che descrive la funzione d’onda di una particella libera che non è legata da alcuna forza esterna o equivalentemente non si trova in una regione dove la sua energia potenziale \(V(x,t)\ varia.
Per una particella con un’energia potenziale non nulla \(V(x)\), l’energia totale \(E\) è quindi una somma di energie cinetiche e potenziali
postuliamo che l’equazione \(\ref{3.1.3}}) per le onde di materia può essere generalizzata a
\Psi(x,t) }_{{text{ equazione di Schrödinger dipendente dal tempo in 1D}{label{3.1.16}]
Per le onde di materia in tre dimensioni, l’equazione \ref{3.1.6} è quindi espansa
Psi(\vec{r},t)}_{{testo{ equazione di Schrödinger dipendente dal tempo in 3D}{label{3.1.17}]
Qui l’energia potenziale e le funzioni d’onda \(\Psi\) dipendono dalle tre coordinate spaziali \(x), \(y), \(z), che scriviamo per brevità come \(\vec{r}\). Si noti che l’energia potenziale è assunta dipendere solo dalla posizione e non dal tempo (cioè dal movimento della particella). Questo è applicabile per forze conservative che una funzione di energia potenziale \(V(\vec{r})\) può essere formulata.
L’operatore Laplaciano
Le tre derivate seconde tra parentesi insieme sono chiamate operatore Laplaciano, o del-quadrato,
con l’operatore del,
è usato anche in Meccanica Quantistica. I simboli con le frecce sopra sono vettori unitari.
L’equazione \(\ref{3.1.17}}) è l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo che descrive l’ampiezza della funzione d’onda \(\Psi(\vec{r}, t)\) delle onde di materia associate alla particella entro un potenziale specificato \(V(\vec{r})\). La sua formulazione nel 1926 rappresenta l’inizio della moderna meccanica quantistica (Heisenberg nel 1925 propose un’altra versione conosciuta come meccanica delle matrici).
Per i sistemi conservativi, l’energia è una costante, e il fattore dipendente dal tempo dall’equazione \(\ref{3.1.7}) può essere separato dal fattore dipendente dallo spazio (tramite la tecnica della separazione delle variabili discussa nella sezione 2.2)
dove \(\psi(\vec{r})\ è una funzione d’onda dipendente dalla funzione d’onda (o indipendente dal tempo) che dipende solo dalle coordinate dello spazio. Mettendo l’equazione \ref{3.1.18} nell’equazione \ref{3.1.17} e annullando i fattori esponenziali, si ottiene l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:
\psi(\vec{r})=E\psi(\vec{r})} equazione di Schrödinger indipendente dal tempo
La forma complessiva dell’equazione \(\ref{3.1.19}) non è insolita o inaspettata, poiché utilizza il principio di conservazione dell’energia. La maggior parte delle nostre applicazioni della meccanica quantistica alla chimica sarà basata su questa equazione (con l’eccezione della spettroscopia). I termini dell’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo possono quindi essere interpretati come energia totale del sistema, uguale all’energia cinetica del sistema più l’energia potenziale del sistema. In questo senso, è proprio come nella fisica classica.
Dipendenza dal tempo delle funzioni d’onda
Si noti che le funzioni d’onda usate con l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo (cioè, \(\psi(\vec{r})\)) non hanno dipendenze esplicite \(t\) come le funzioni d’onda dell’analogo dipendente dal tempo nell’equazione \ref{3.1.17}\) (cioè, \(\Psi(\vec{r},t)\). Questo non implica che non ci sia una dipendenza dal tempo della funzione d’onda. Torniamo all’equazione \ref{3.1.18}:
La funzione d’onda dipendente dal tempo (cioè, La funzione d’onda dipendente dal tempo (cioè completamente spaziale e temporale) (\(\Psi(\vec{r},t)\)) differisce dalla funzione d’onda indipendente dal tempo (cioè solo spaziale) \(\psi(\vec{r})\ da un “fattore di fase” di grandezza costante. Usando la relazione di Eulero nell’equazione 3.1.4, la funzione d’onda totale di cui sopra può essere espansa
Questo significa che la funzione d’onda totale ha un comportamento complesso con una parte reale e una parte immaginaria. Inoltre, usando l’identità trigonometrica (\sin (\theta) = \cos (\theta – \pi/2)\) questo può essere ulteriormente semplificato in
Quindi, la parte immaginaria della funzione d’onda totale oscilla fuori fase di \(\frac{\pi}{2}) rispetto alla parte reale. Mentre tutte le funzioni d’onda hanno una dipendenza dal tempo, questa dipendenza può non manifestarsi in semplici problemi quantistici, come discusso nelle prossime sezioni.
Prima di intraprendere questo, tuttavia, fermiamoci a commentare la validità della meccanica quantistica. Nonostante la sua stranezza, la sua astrattezza e la sua strana visione dell’universo come un luogo di casualità e imprevedibilità, la teoria quantistica è stata sottoposta a un intenso esame sperimentale. Si è scoperto che concorda con gli esperimenti meglio di \(10^{-10}\%\) per tutti i casi studiati finora. Quando l’equazione di Schrödinger è combinata con una descrizione quantistica del campo elettromagnetico, una teoria conosciuta come elettrodinamica quantistica, il risultato è una delle più accurate teorie della materia che sia mai stata presentata. Tenendo questo in mente, andiamo avanti nella nostra discussione sull’universo quantistico e su come applicare la teoria quantistica sia ai modelli che alle situazioni reali.
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