Comme dans le cas réel, la fonction exponentielle peut être définie sur le plan complexe sous plusieurs formes équivalentes. La définition la plus courante de la fonction exponentielle complexe est parallèle à la définition de la série de puissance pour les arguments réels, où la variable réelle est remplacée par une variable complexe :
exp z := ∑ k = 0 ∞ z k k ! {\displaystyle \exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}}
Alternativement, la fonction exponentielle complexe peut être définie en modélisant la définition de la limite pour les arguments réels, mais en remplaçant la variable réelle par une variable complexe:
exp z := lim n → ∞ ( 1 + z n ) n {\displaystyle \exp z:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}\right)^{n}}.
Pour la définition de la série de puissance, la multiplication terme à terme de deux copies de cette série de puissance au sens de Cauchy, permise par le théorème de Mertens, montre que la propriété multiplicative définitoire des fonctions exponentielles continue de se vérifier pour tous les arguments complexes :
exp ( w + z ) = exp w exp z pour tout w , z ∈ C {\displaystyle \exp(w+z)=\exp w\exp z{\text{ pour tout }w,z\in \mathbb {C} }
La définition de la fonction exponentielle complexe conduit à son tour aux définitions appropriées étendant les fonctions trigonométriques aux arguments complexes.
En particulier, lorsque z = it (t réel), la définition de la série donne l’expansion
exp i t = ( 1 – t 2 2 ! + t 4 4 ! – t 6 6 ! + ⋯ ) + i ( t – t 3 3 ! + t 5 5 ! – t 7 7 ! + ⋯ ) . {\displaystyle \exp it=\left(1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}+\cdots \right)+i\left(t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots \right).}
Dans cette expansion, le réarrangement des termes en parties réelles et imaginaires est justifié par la convergence absolue de la série. Les parties réelles et imaginaires de l’expression ci-dessus correspondent en fait aux développements en série de cos t et sin t, respectivement.
Cette correspondance fournit une motivation pour définir le cosinus et le sinus pour tous les arguments complexes en termes d’exp ( ± i z ) {\displaystyle \exp(\pm iz)}.
et des séries de puissance équivalentes : cos z := exp i z + exp ( – i z ) 2 = ∑ k = 0 ∞ ( – 1 ) k z 2 k ( 2 k ) ! , et sin z := exp i z – exp ( – i z ) 2 i = ∑ k = 0 ∞ ( – 1 ) k z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! pour tout z ∈ C . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos z&:={\frac {\exp iz+\exp(-iz)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k) !}},\quad {\text{and}&:={\frac {\exp iz-\exp(-iz)}{2i}={sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}\end{aligned}{\text{for all }z\in \mathbb {C} .}
Les fonctions exp, cos, et sin ainsi définies ont des rayons de convergence infinis par le test du rapport et sont donc des fonctions entières (c’est-à-dire, holomorphes sur C {\displaystyle \mathbb {C} }
). L’étendue de la fonction exponentielle est C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0}}
, tandis que les domaines des fonctions sinus et cosinus complexes sont tous deux C {\displaystyle \mathbb {C} }
dans sa totalité, en accord avec le théorème de Picard, qui affirme que l’étendue d’une fonction entière non constante est soit la totalité de C {\displaystyle \mathbb {C} }
, soit C {\displaystyle \mathbb {C} }
en excluant une valeur lacunaire. Ces définitions des fonctions exponentielles et trigonométriques conduisent trivialement à la formule d’Euler: exp i z = cos z + i sin z pour tout z ∈ C {\displaystyle \exp iz=\cos z+i\sin z{\text{ pour tout }}z\in \mathbb {C}. }
.
On pourrait aussi définir la fonction exponentielle complexe à partir de cette relation. Si z = x + iy, où x et y sont tous deux réels, alors nous pourrions définir son exponentielle comme
exp z = exp ( x + i y ) := ( exp x ) ( cos y + i sin y ) {\displaystyle \exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\sin y)}
où exp, cos, et sin du côté droit du signe de définition doivent être interprétés comme des fonctions d’une variable réelle, préalablement définies par d’autres moyens.
Pour t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} }.
, la relation exp i t ¯ = exp ( – i t ) {\displaystyle {\overline {\exp it}}=\exp(-it)}
tient, de sorte que | exp i t | = 1 {\displaystyle |\exp it|=1}
pour un réel t {\displaystyle t}
et t ↦ exp i t {\displaystyle t\mapsto \exp it}
fait correspondre la droite réelle (mod 2π) au cercle unitaire dans le plan complexe. De plus, en allant de t = 0 {\displaystyle t=0}
à t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}}
, la courbe définie par γ ( t ) = exp i t isplaystyle \gamma (t)=\exp it}
trace un segment du cercle unitaire de longueur ∫ 0 t 0 | γ ′ ( t ) | d t = ∫ 0 t 0 | i exp i t | d t = t 0 isplaystyle \int _{0}^{t_{0}}|\gamma ‘(t)|dt=\int _{0}^{t_{0}|i\exp it|dt=t_{0}}
,
en partant de z = 1 dans le plan complexe et en allant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Sur la base de ces observations et du fait que la mesure d’un angle en radians est la longueur d’arc sur le cercle unitaire sous-tendu par l’angle, il est facile de voir que, restreintes à des arguments réels, les fonctions sinus et cosinus telles que définies ci-dessus coïncident avec les fonctions sinus et cosinus telles qu’introduites en mathématiques élémentaires via des notions géométriques.
La fonction exponentielle complexe est périodique de période 2πi et exp ( z + 2 π i k ) = exp z {\displaystyle \exp(z+2\pi ik)=\exp z}.
tient pour tout z ∈ C , k ∈ Z {\displaystyle z\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {Z} }
. Lorsque son domaine est étendu de la droite réelle au plan complexe, la fonction exponentielle conserve les propriétés suivantes : e z + w = e z e w e 0 = 1 e z ≠ 0 d d z e z = e z ( e z ) n = e n z , n ∈ Z pour tout w , z ∈ C {\displaystyle {\begin{aligned}e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,\\N{\i1},\N{\i1}neq 0\N{\i1}tfrac {d}{dz}}e^{z}=e^{z}\N{\i1}gauche (e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\N{\i1}dans \mathbb {Z} \end{aligned}}{\text{ pour tous }}w,z\in \mathbb {C} }
.
En étendant le logarithme naturel à des arguments complexes, on obtient le logarithme complexe log z, qui est une fonction multivaluée.
On peut alors définir une exponentiation plus générale :
z w = e w log z {\displaystyle z^{w}=e^{w\log z}}.
pour tous les nombres complexes z et w. Il s’agit également d’une fonction multivaluée, même lorsque z est réel. Cette distinction est problématique, car les fonctions multivaluées log z et zw sont facilement confondues avec leurs équivalents à valeur unique lorsqu’on substitue un nombre réel à z. La règle de multiplication des exposants pour le cas des nombres réels positifs doit être modifiée dans un contexte multivalué :
(ez)w ≠ ezw, mais plutôt (ez)w = e(z + 2niπ)w multivalué sur les entiers n
Voir échec des identités de puissance et de logarithme pour en savoir plus sur les problèmes de combinaison des puissances.
La fonction exponentielle fait correspondre toute ligne du plan complexe à une spirale logarithmique dans le plan complexe avec le centre à l’origine. Deux cas particuliers existent : lorsque la droite d’origine est parallèle à l’axe réel, la spirale résultante ne se referme jamais sur elle-même ; lorsque la droite d’origine est parallèle à l’axe imaginaire, la spirale résultante est un cercle de rayon quelconque.
- Plots 3D de la partie réelle, de la partie imaginaire, et du module de la fonction exponentielle
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z = Re(ex + iy)
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z = Im(ex + iy)
-
z = |ex + iy|
- Graphes de la fonction exponentielle complexe
-
Touche du damier :
x > 0 : vert {\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}.x < 0 : rouge {\displaystyle x<0:\;{\text{red}}
y > 0 : jaune {\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}
y < 0 : blue {\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}
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Projection sur le plan complexe de l’étendue (V/W). Comparer avec l’image suivante, en perspective.
-
Projection dans le x {\displaystyle x}
, v {\displaystyle v}
, et w {\displaystyle w}.
dimensions, produisant une forme de corne évasée ou d’entonnoir (envisagée comme image en perspective 2-D).
-
Projection dans les dimensions y , v, et w, produisant une forme de spirale. (Plage de y étendue à ±2π, à nouveau comme image en perspective 2-D).
- zéro est mis en correspondance avec 1
- l’axe x réel est mis en correspondance avec l’axe v réel positif
- l’axe y imaginaire est enroulé autour du cercle unitaire à un taux angulaire constant
- les valeurs avec des parties réelles négatives sont mises en correspondance à l’intérieur du cercle unitaire
- les valeurs avec des parties réelles positives sont mises en correspondance à l’extérieur du cercle unitaire
- les valeurs avec une partie réelle constante sont mises en correspondance avec des cercles centrés à zéro
- les valeurs avec une partie imaginaire constante sont mises en correspondance avec des rayons s’étendant à partir de zéro
Considérons la fonction exponentielle complexe comme une fonction impliquant quatre variables réelles :
v + i w = exp ( x + i y ) {\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}
le graphe de la fonction exponentielle est une surface bidimensionnelle se courbant à travers quatre dimensions.
En commençant par une portion à code couleur du domaine xy, voici des représentations du graphe tel que diversement projeté en deux ou trois dimensions.
La deuxième image montre comment le plan complexe du domaine est mis en correspondance avec le plan complexe de l’étendue :
Les troisième et quatrième images montrent comment le graphique de la deuxième image s’étend dans l’une des deux autres dimensions non représentées dans la deuxième image.
La troisième image montre le graphique étendu le long de l’axe x réel. Elle montre que le graphique est une surface de révolution autour de l’axe x du graphique de la fonction exponentielle réelle, produisant une forme de corne ou d’entonnoir.
La quatrième image montre le graphique étendu le long de l’axe y imaginaire. Elle montre que la surface du graphique pour les valeurs y positives et négatives ne se rencontre pas vraiment le long de l’axe v réel négatif, mais forme plutôt une surface en spirale autour de l’axe y. Parce que ses valeurs y ont été étendues à ±2π, cette image dépeint également mieux la périodicité de 2π dans la valeur y imaginaire.
Calcul de ab où a et b sont tous deux complexesModifier
L’exponentiation complexe ab peut être définie en convertissant a en coordonnées polaires et en utilisant l’identité (eln a)b = ab :
a b = ( r e θ i ) b = ( e ( ln r ) + θ i ) b = e ( ( ln r ) + θ i ) b {\displaystyle a^{b}=\left(re^{\theta i}\right)^{b}=\left(e^{(\ln r)+\theta i}\right)^{b}=e^{\left((\ln r)+\theta i\right)b}}
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