Algèbre du collège

Propriétés des logarithmes

Rappelons que les fonctions logarithmique et exponentielle se  » défont  » mutuellement. Cela signifie que les logarithmes ont des propriétés similaires à celles des exposants. Certaines propriétés importantes des logarithmes sont données ici. Tout d’abord, les propriétés suivantes sont faciles à prouver.

\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{b}1=0\\{\mathrm{log}}_{b}b=1\end{array}

For example, {\mathrm{log}}_{5}1=0 puisque {5}^{0}=1 et {\mathrm{log}}_{5}5=1 puisque {5}^{1}=5.

Après cela, on a la propriété inverse.

\begin{array}{l}\hfill \\\\\\N{mathrm{log}_{b}\left({b}^{x}\right)=x\hfill \N{\text{ }{b}^{{{\mathrm{log}}_{b}x}=x,x>0\hfill \end{array}

Par exemple, pour évaluer \mathrm{log} \Ngauche(100\Retour), on peut réécrire le logarithme sous la forme {\mathrm{log}}_{10}\left({10}^{2}\right) puis appliquer la propriété inverse {\mathrm{log}}_{b}\left({b}^{x}\right)=x pour obtenir {\mathrm{log}}_{10}\left({10}^{2}\right)=2.

Pour évaluer {e}^{\mathrm{ln}\left(7\right)}, nous pouvons réécrire le logarithme comme {e}^{\mathrm{log}}_{e}7} et ensuite appliquer la propriété inverse {b}^{\mathrm{log}}_{b}x}=x pour obtenir {e}^{\mathrm{log}}_{e}7}=7.

Enfin, on a la propriété d’unicité.

{\mathrm{log}}_{b}M={\mathrm{log}}_{b}N\text{ si et seulement si}\text{ }M=N

Nous pouvons utiliser la propriété un-à-unpour résoudre l’équation {\mathrm{log}}_{3}\left(3x\right)={\mathrm{log}}_{3}\left(2x+5\right) pour x. Puisque les bases sont les mêmes, nous pouvons appliquer la propriété d’équivalence en rendant les arguments égaux et en résolvant pour x :

\begin{array}{l}3x=2x+5\hfill & \text{Ret the arguments equal}\text{.}\hfill \\\\N x=5\hfill & \text{Soustraire 2}x\text{.}\hfill \end{array}

Mais qu’en est-il de l’équation {\mathrm{log}}_{3}\left(3x\right)+{\mathrm{log}}_{3}\left(2x+5\right)=2 ? La propriété biunivoque ne nous aide pas dans ce cas. Avant de pouvoir résoudre une équation comme celle-ci, nous avons besoin d’une méthode pour combiner les logarithmes du côté gauche de l’équation.

Utiliser la règle du produit des logarithmes

Rappelle-toi que nous utilisons la règle du produit des exposants pour combiner le produit des exposants en ajoutant : {x}^{a}{x}^{b}={x}^{a+b}. Nous avons une propriété similaire pour les logarithmes, appelée la règle du produit des logarithmes, qui dit que le logarithme d’un produit est égal à une somme de logarithmes. Comme les logarithmes sont des exposants et que nous multiplions des bases semblables, nous pouvons additionner les exposants. Nous allons utiliser la propriété inverse pour dériver la règle du produit ci-dessous.

Sous réserve d’un nombre réel x quelconque et de nombres réels positifs M, N et b, où b\ne 1, we will show

{\mathrm{log}}_{b}\left(MN\right)\text{= }{\mathrm{log}}_{b}\left(M\right)+{\mathrm{log}}_{b}\left(N\right).

Disons que m={\mathrm{log}}_{b}M et n={\mathrm{log}}_{b}N. Sous forme exponentielle, ces équations sont {b}^{m}}=M et {b}^{n}=N. Il en résulte que

\begin{array}{lllllll}{\mathrm{log}}_{b}\left(MN\right)\hfill & ={\mathrm{log}}_{b}\left({b}^{m}{b}^{n}\right)\hfill & \text{Substituer par }M\text{ et }N.\hfill \\\N & ={\mathrm{log}}_{b}\left({b}^{m+n}\right)\hfill & \text{Appliquer la règle du produit aux exposants}.\hfill \\\\N- & =m+n\hfill & \text{Appliquer la propriété inverse des logarithmes}.\hfill \\\N & ={\mathrm{log}}_{b}\left(M\right)+{\mathrm{log}}_{b}\left(N\right)\hfill & \text{Substituer pour }m\text{ et }n.\hfill \end{array}

Notez que des applications répétées de la règle du produit des logarithmes nous permettent de simplifier le logarithme du produit d’un nombre quelconque de facteurs. Par exemple, considérons \mathrm{log}_{b}(wxyz). En utilisant la règle du produit des logarithmes, nous pouvons réécrire ce logarithme d’un produit comme la somme des logarithmes de ses facteurs :

Utiliser la règle du quotient pour les logarithmes

Pour les quotients, nous avons une règle similaire pour les logarithmes. Rappelez-vous que nous utilisons la règle du quotient des exposants pour combiner le quotient des exposants par soustraction : {x}^{\frac{a}{b}}={x}^{a-b}. La règle du quotient des logarithmes dit que le logarithme d’un quotient est égal à une différence de logarithmes. Tout comme pour la règle du produit, nous pouvons utiliser la propriété inverse pour dériver la règle du quotient.

Sous réserve d’un nombre réel x quelconque et de nombres réels positifs M, N et b, où b\ne 1, we will show

{\mathrm{log}}_{b}\left(\frac{M}{N}\right)\text{= }{\mathrm{log}}_{b}\left(M\right)-{\mathrm{log}}_{b}\left(N\right).

Disons que m={\mathrm{log}}_{b}M et n={\mathrm{log}}_{b}N. Sous forme exponentielle, ces équations sont {b}^{m}}=M et {b}^{n}=N. Il en résulte que

\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{b}\left(\frac{M}{N}\right)\hfill & ={\mathrm{log}_{b}\left(\frac{{b}^{m}}{b}^{n}}\right)\hfill & \text{Substitue pour }M\text{ et }N.\hfill \\\N & ={\mathrm{log}}_{b}\left({b}^{m-n}\right)\hfill & \text{Appliquer la règle du quotient pour les exposants}.\hfill \\\\N- & =m-n\hfill & \text{Appliquer la propriété inverse des logarithmes}.\hfill \\\N & ={\mathrm{log}}_{b}\left(M\right)-{\mathrm{log}}_{b}\left(N\right)\hfill & \text{Substituer pour }m\text{ et }n.\hfill \end{array}

Par exemple, pour développer \mathrm{log}\left(\frac{2{x}^{2}+6x}{3x+9}\right), nous devons d’abord exprimer le quotient en termes inférieurs. En factorisant et en annulant, on obtient

\begin{array}{lllll}\mathrm{log}\left(\frac{2{x}^{2}+6x}{3x+9}\right) & =\mathrm{log}\left(\frac{2x\left(x+3\right)}{3\left(x+3\right)}\right)\hfill & \text{Factoriser le numérateur et le dénominateur}.\hfill \\N & \text{}=\mathrm{log}\left(\frac{2x}{3}\right)\hfill & \text{Annulez les facteurs communs}.\hfill \end{array}

Puis nous appliquons la règle du quotient en soustrayant le logarithme du dénominateur au logarithme du numérateur. Puis on applique la règle du produit.

\begin{array}{lll}\mathrm{log}\left(\frac{2x}{3}\right) & =\mathrm{log}\left(2x\right)-\mathrm{log}\left(3\right)\hfill \\\\text{} & =\mathrm{log}\left(2\right)+\mathrm{log}\left(x\right)-\mathrm{log}\left(3\right)\hfill \end{array}

Utiliser la règle de la puissance pour les logarithmes

Nous avons exploré la règle du produit et la règle du quotient, mais comment pouvons-nous prendre le logarithme d’une puissance, comme {x}^{2} ? Une méthode est la suivante :

\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{b}\left({x}^{2}\right)\hfill & ={\mathrm{log}_{b}\left(x\cdot x\right)\hfill \\\hfill & ={\mathrm{log}}_{b}x+{\mathrm{log}_{b}x\hfill \\hfill & =2{\mathrm{log}}_{b}x\hfill \end{array}

Vous remarquerez que nous avons utilisé la règle du produit des logarithmes pour trouver une solution à l’exemple ci-dessus. Ce faisant, nous avons dérivé la règle de puissance des logarithmes, qui dit que le logarithme d’une puissance est égal à l’exposant multiplié par le logarithme de la base. Gardez à l’esprit que même si l’entrée d’un logarithme peut ne pas être écrite sous forme de puissance, nous pouvons être en mesure de la changer en puissance. Par exemple,

\begin{array}{lll}100={10}^{2}, \hfill & \sqrt{3}={3}^{\frac{1}{2}}, \hfill & \frac{1}{e}={e}^{-1}\hfill \end{array}

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